Introdução Ao cálculo

Introdução ao cálculo

Os números e o espaço, junto com as figuras geométricas nele contidas, são dois objetos principais de que se ocupa a Matemática.

Demorou anos para o homem desenvolver um sistema que pudesse medir e contar coisas de forma eficiente. Em busca dessa eficiência, o homem criou o numero que é uma entidade puramente abstrata que nos permite contar e medir. Logo com a idéia de número, podemos avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza seja ela contínua ou discreta.

Os compêndios tradicionais dizem o seguinte:

“Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade. Se a grandeza é discreta (por exemplo: um rebanho), essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua (por exemplo: um segmento de reta) a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real.”

Do ponto de vista do rigor matemático, o que foi escrito acima não pode ser considerado como uma definição matemática, umas vez que faz uso de idéias (como grandeza, unidade, discreta , contínua) e processos (como comparação) de significado não estabelecido. No entanto, as palavras mencionadas possuem um sentido muito claro na linguagem do dia-a-dia. Por esta razão, embora a definição tradicional não sirva para demonstrar teoremas a partir dela, podemos dizer que ela possui um grande mérito de nos revelar para que servem e por qual motivo foram inventados os números. Não entrarei no mérito de definir número por meio do rigor matemático, até porque foge do nosso escopo por ser um curso voltado para futuros Engenheiros.

O conjunto dos Números Naturais ()

A humanidade, na medida em que se civilizava, apoderou-se desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três, quatro, ...) que são os números naturais. Foi uma evolução demorada. As tribos mais rudimentares contam apenas um, dois, muitos.

Decorridos muitos milênios, podemos hoje descrever concisa e precisamente o conjunto dos números naturais.

é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. A essência da caracterização de reside na palavra sucessor. De uma forma bem intuitiva, quando n, n’ , dizer que n’ é o sucessor de n significa que n vem logo depois de n, não havendo outros números naturais entre n e n’. É claro que esta explicação apenas substitui “sucessor” por “logo depois”, portanto não é uma definição. O termo primitivo “sucessor” não é definido explicitamente. Seu uso e suas propriedades são regidos por algumas regras, abaixo enumeradas:

(i) Todo número natural tem um único sucessor;

(ii) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;

(iii) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;

(iv) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X ). Se 1 X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X =.

Um engenhoso processo, chamado sistema de numeração decimal, permite representar todos os números naturais com auxílio dos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Além disso, os primeiros números naturais têm nomes: o sucessor de “um” chama-se “dois”, o sucessor de “dois” chama-se “três”, etc. a partir de um certo ponto, esses nomes tornam-se muito complicados, sendo preferível abrir mão deles e designar os grandes números por sua representação decimal. (Na realidade, os números muito grandes não possuem nomes. Por exemplo, como se chamaria o número ?).

Deve ficar claro que o conjunto = {1, 2, 3, 4, ...} dos números naturais é uma seqüência de objetos abstratos que, em princípio, são vazios de significado. Cada um desses objetos (um número natural) possui apenas um lugar determinado nesta seqüência.

Podemos dizer que os números naturais são números ordinais: 1 é o primeiro, 2 é o segundo, etc.

Números Reais

Já foi visto anteriormente como os números naturais são empregados na operação de contagem. Veremos agora de que modo o processo de medição das grandezas ditas contínuas conduz à noção de número real. Usaremos como protótipo a determinação de comprimento de um segmento de reta. Este exemplo de medição é tão significativo que o conjunto dos números reais é também conhecido como a reta real ou, simplesmente, a reta.

Segmentos Comensuráveis e Incomensuráveis

Seja AB um segmento de reta. Para medi-lo, é necessário fixar um segmento padrão u, chamado segmento unitário. Por definição. A medida do segmento u é igual a 1. Estipularemos ainda que segmentos congruentes tenham a mesma medida e que se n -1 pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais forem todos congruentes a u, diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB ( que representaremos por ) será igual a n.

Pode ocorrer que o segmento unitário não caiba um número exato de vezes em AB. Então a medida de AB não será um número natural. Esta situação nos conduz à idéia de fração, conforme mostraremos agora.

Neste caso, procuramos um pequeno segmento de reta w, que caiba n vezes no segmento unitário u e m vezes no segmento AB. Dessa forma, o segmento w será então uma medida comum de u e AB. Encontrando w, diremos que AB e u são comensuráveis. A medida de w será a fração 1/n e a medida de AB, por conseguinte, será m vezes 1/n, ou seja, igual a m/n.

Os matemáticos gregos da época de Euclides relutaram bastante em admitir como número qualquer objeto que não pertencesse ao conjunto {2, 3, 4, ...}. Euclides não olhava para a fração m/n como um número e sim como uma razão entre dois números, igual à razão entre os segmentos AB e u.

O fato dos gregos considerarem m/n como número ou não é irrelevante uma vez que sabiam raciocinar com estes símbolos.

Qual é a fração representada pelo ponto P na reta numerada?

(A) (B) (C) (D) (E)

Na reta graduada da figura abaixo foram assinalados cinco pontos, deles o que melhor representa o número 1,15 é:

Em uma