Juros Compostos

ETAPA 1

Aulas-temas: Fundamentos de Matemática Financeira. A calculadora HP-12c.

A Matemática Financeira: é uma ferramenta muito utilizada para a analise de investimentos, financiamentos de bens de consumo, que consiste em aplicar procedimentos matemáticos simplificando a operação financeira a um fluxo de caixa.

Capital: é o valor que se aplica nas operações financeiras. É conhecido também como: valor inicial, valor aplicado ou valor presente. Na calculado HP-12c é representado pela sigla PV que vem do inglês e significa Presente Value.

Juro: representa a remuneração de um valor aplicado a alguma operação financeira. O mesmo pode ser capitalizado a Juros Simples ou Composto.

Juros Simples: o juro de cada intervalo de tempo é calculado sempre sobre o valor presente (VP) aplicado ou emprestado.

Juros Compostos: O juro é calculado a partir do valor inicial de cada intervalo de tempo. Ou seja os juros de cada intervalo de tempo é agregado ao valor inicial e também passa a render juros. Conhecido também como o calculo de juros sobre juros.

Quando utilizamos juros simples ou compostos?

A grande maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Incluem-se: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de credito, os empréstimos bancários, etc. Raramente é encontrado o regime de juros simples é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de Juros

A taxa de juros determina qual será a remuneração para ao VP aplicado ou emprestado em um determinado período. Normalmente é expresso na forma de percentual, em seguido do período de tempo a que se refere.

EX:

5% a.a – (ao ano)

8% a.m – (ao mês)

7,5% a.b – (ao bimestre)

10% a.t – (ao trimestre)

Outra forma de representação é pela taxa unitária que é a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %.

Ex:

0,05 a.a – (ao ano)

0,08 a.m – (ao mês)

0,075 a.b – (ao bimestre)

0,10 a.t – (ao trimestre)

FORMULAS

Juros Simples

J = P . i . n

Onde:

J = juros

P = principal (capital)

i = taxa de juros

n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:

M = P . ( 1 + (i.n) )

M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Juros Compostos

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)

3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00

t = 1 ano = 12 meses

i = 3,5 % a.m. = 0,035

M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.

Portanto o montante é R$9.054,00

Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples:

M( n ) = P + n r P

No regime de juros