Matematematica

Limite de uma função

Em matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, uma função de uma variável f atribui uma variável dependente f(x) a cada variável independente x. A função tem um limite L em uma variável independente p se f(x) é "próximo" a L sempre que x é "próximo" a p. Em outras palavras, f(x) torna-se mais e mais próxima a L à medida que x se move mais e mais próximo a p. Mais especificamente, quando f é aplicado a cada variável independente suficientemente próximo a p, o resultado é um valor de variável dependente que é arbitrariamente próximo a L. Se as variável independentes "próximas" a p são tomadas a valores que sejam muito diferentes, o limite é dito não existir. O limite não existe apenas para funções de uma variável. Definições formais, primeiramente concebidas no início do século XIX, são dadas abaixo.

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d , tal que :

| x - x | < δ ⇒ |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x , através da simbologia abaixo:

lim f(x) = L x->x

Exercício:

lim (x + 5) = 8

Prove, usando a definição de limite vista acima, que: xÆ3

Temos no caso:

lim f(x) = x + 5 = 3 +5 = 8 x Æ 3

L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x – 3| < δ, se tenha |(x + 5) - 8| < ε. Ora, |(x + 5) – 8| < ε é equivalente a | x – 3 | < ε . Portanto, a desigualdade |x – 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε . Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3.

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na sequência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares

a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x Æ x , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x , porém não coincidente com x, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x . Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x Æ 3.

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:

Se

Se

Continuidade de limites

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

•

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

f(x) g(x) é contínua em a;

• f(x) . g(x) é contínua em a;

é contínua em a

limite segundo Heine

Dada uma função real de variável real f, em que o seu domínio é , diz-se que:

b é o limite de quando x tende para a, ou simbolicamente , se e só se qualquer que seja a sucessão devalores de x (xn) do domínio de que tenda para a, por valores diferentes de a, corresponda a uma sucessão de imagens que tende para b.

Consideremos a função f, definida, em , por e o ponto 3, que é um ponto de acumulação do seu domínio.

Observando o gráfico da função, verifica-se que, quando x se «aproxima» de 3 quer os valores inferiores, quer os valores superiores, os valores correspondentes de f(x) «aproximam-se» de 5: .

Esta ideia intuitiva traduz-se pelo enunciado: «o limite de f(x) quando x tende para 3 é 5» e escreve-se

Estudemos agora, ainda a partir do gráfico, o comportamento da função quando x se «aproxima» de 1. Esta aproximação pode fazer-se por valores de x: todos maiores que 1, os valores de f(x) «aproximam-se» de 3; todos menores que 1, os valores de f(x) «aproximam-se» de 2; alternadamente superiores ou inferiores a 1, os valores de f(x) não se «aproximam» de qualquer valor.

Portanto, não é verdade que quando os valores de x se «aproximam» de 1, os valores de f(x) se «aproximam» de um mesmo número.

Dir-se-á então que: Não existe o limite de f(x) quando x tende para 1.

Esta noção intuitiva de limite fica estabelecida com rigor quando adoptamos a Seja f uma função real, de variável real, e a um ponto de acumulação do seu domínio.

Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para