Máximos E Mínimos

Máximos e Mínimos

1. Introdução

No contexto do estudo de derivadas, resolvemos problemas de funções quadráticas onde se pretendia encontrar o valor ótimo que estas assumiam, ou seja, o seu valor máximo.

O ponto máximo, onde o coeficiente angular é zero, geralmente era único, o que nos permitia igualar a derivada da função a zero e, em seguida, resolve-las em x.

Um exemplo é a função lucro, representada por a qual você deve esboçar o gráfico e constatar as informações acima.

Entretanto nem sempre é tão simples assim, pois, de maneira geral, nem todo ponto da função no qual a derivada é nula é o pico do gráfico.

y = x³ y = x²

fig. 1 fig. 2

Temos duas funções cujas derivadas em x = 0 são nulas. Ambas possuem tangentes horizontais em (0;0), mas a função y = x² alcança seu valor mínimo em (0;0), enquanto que a função y = x³ não possui máximo nem mínimo neste ponto.

A situação torna-se mais complicada com a existência de funções que possuem máximos e mínimos em pontos nos quais as derivadas nem sequer são definidas, como ilustramos nas figuras 3 e 4.

fig. 3 fig. 4

Vemos então uma forma sistematizada de locação e identificação de máximos e mínimos de funções diferenciáveis. Neste processo você também aprenderá como usar derivadas que o ajudarão a construir gráficos de funções.

2. Máximos e Mínimos Relativos

Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico.

Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho. A função representada na figura 5 possui um máximo relativo em x = b, e mínimos relativos em x = a e x = c. Note que o máximo relativo não precisa ser o ponto mais alto do gráfico, é máximo somente em relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico.

a b c

fig. 5

Conhecendo-se os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, pode-se facilmente identificar os máximos e mínimos relativos da função. O máximo relativo ocorre quando a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. O mínimo relativo ocorre quando a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.

3. Sinal da Derivada

Pode-se reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal da sua derivada, porque a derivada é o coeficiente angular da reta tangente. Quando a derivada é positiva, o coeficiente angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é negativa, o coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. A figura 6 ilustra essa situação.

Y = f(x)

Y = f(x)

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fig. 6-a fig. 6-b

a b a b

Conclusão:

Se f (x) > 0, quando a < x < b, então f é crescente para a < x < b

Se f (x) < 0, quando a < x < b, então f é decrescente para a < x < b

4. Pontos Críticos

Sendo um ponto pertencente ao domínio de uma função f (x), diz-se que é abscissa de um ponto crítico se:

A função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode assumir máximos ou mínimos relativos são aquelas nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas.

O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo.

1) f ( ) = 0

2) f ( ) não está definida

Observe que:

1) Se o sinal da derivada for positivo à esquerda do ponto crítico e negativo à direita dela, o ponto é um máximo relativo. (fig. 7a).

2) Se o sinal da derivada for negativo à esquerda do ponto crítico e positivo à direita dela, o ponto é um máximo relativo. (fig. 7b).

3) Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, o ponto não é máximo nem mínimo relativo. (fig. 7c).

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