Máximos E mínimos

Máximos e Mínimos

Como vimos nos problemas explorados no início do curso, o cálculo dos valores máximo e mínimo assumidos por uma função pode ser de grande utilidade. Vimos também que este cálculo, em geral, recai no estudo dos pontos onde a reta tangente ao gráfico da função é horizontal, o que equivale a determinar os pontos onde a derivada da função é nula. Nesta aula, vamos estudar cada situação com mais cuidado, procurando as justificativas para nossas conclusões.

Com o que estudamos até aqui, já podemos determinar, com exatidão, quais as dimensões da caixa de maior volume no 1o problema abordado no curso.

A função volume encontrada foi: V(x) = 144 x - 48 x2 + 4 x3

O valor máximo dessa função ocorre no ponto onde a reta tangente é horizontal, o que significa que a derivada é nula.

V ‘ (x) = 144 – 96 x + 12 x2.

Temos V’(x) = 0  12 (x2 – 8x + 12) = 0  x = 2 ou x = 6

Quando x = 6, temos V(x) = 0, e temos uma caixa de volume mínimo.

Quando x = 2, temos V(2) = 288 – 192 + 32 = 128 , que corresponde ao valor máximo da função V (x).

Concluímos que a caixa de volume máximo tem dimensões 8 cm x8 cm x2 cm

Definição: Valores Máximos e Mínimos

Se c  [a , b], então f (c) é o valor mínimo de f (x) em [a , b] se:

f (c)  f(x) x  [a , b]

Analogamente, se d  [a , b], então f (d) é o valor máximo de f (x) em [a , b] se:

f (d)  f (x) x  [a , b]

Ex: Considere a função f (x) = x3–3x2–x+3, no intervalo [–1 , 3].

f corta o eixo dos x em x = –1, x = 1 e x = 3, isto é, a função tem essas 3 raízes.

Observa-se que o valor máximo e o valor mínimo são atingidos por f(x) no interior do intervalo [–1 , 3].

Observe também que se considerarmos a função definida em IR, o valor máximo seria +, enquanto o valor mínimo seria – .

Se considerarmos a mesma função definida no intervalo [–4 , 4], o valor máximo ocorre no ponto x = 4 e o valor mínimo ocorre no ponto x = – 4, isto é, nos extremos do intervalo.

Teorema 1:

Se a função f é contínua no intervalo fechado [a , b], então existem números c e d em [a , b] tais que f (c) é o valor mínimo, e f (d) é o valor máximo de f em [a , b].

No problema do cercado para animais, o custo da cerca é dado por:

onde x [0 , 18]

Como a função é contínua, o teorema garante a existência de pontos desse intervalo onde os valores máximo e mínimo são assumidos.

A área máxima será atingida quando A’(x) = 0 

 x = 9

A área mínima será atingida nos extremos do intervalo, quando

x =0 ou x = 18: A (x) = 0

Máximos e mínimos locais:

Dizemos que o valor f(c) é um máximo local da função f se f(x)  f(c) x num intervalo aberto contendo o ponto c.

Dizemos que o valor f(c) é um mínimo local da função f se f(x)  f(c) x num intervalo aberto contendo o ponto c.

Um extremo local da função f é um ponto de máximo ou mínimo de f.

Teorema 2:

Se f é definida num intervalo aberto contendo c e é diferenciável em c, e se f (c) é ponto de máximo ou mínimo local de f, então f ‘(c) = 0.

Cuidado! A recíproca do teorema 2 não é verdadeira. Isto é, o fato de se ter f ‘(c) = 0 não implica que f(c) seja um extremo local.

Ex: f (x) = x3

Sabemos que f ‘(x) = 3x2 e, portanto, f ‘(0) = 0. No entanto, pelo gráfico de f(x) = x3, vemos que o ponto x = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo local.

Máximos e Mínimos absolutos:

Se f é uma função com domínio D, dizemos que f (c) é máximo absoluto ou máximo global de f se f (c)  f (x) x  D.

Analogamente, dizemos que f (c) é o mínimo absoluto ou mínimo global de f se f (c)  f (x) x D.

Assim, alguns extremos são globais, enquanto outros são locais.

Um número c do domínio de f é chamado de ponto crítico de f se:

- f ‘(c) = 0 ou

- f ‘(c) não existe.

Exercício: Achar os valores máximo e mínimo da função ,

no intervalo [-4,4]

Observamos que a função não está definida em x=0.

Para achar os pontos críticos, vamos calcular:

Então f ’(x) = 0 se x =1 ou x = –1

Portanto, os pontos críticos de f são 0, 1 e –1

Como f (1) = 2 , f (-1) = -2 , temos que estes pontos são de max. e min. locais, enquanto os máximos e mínimos absolutos não existem, já que nas proximidades de 0 pela direita a função cresce infinitamente, e pela esquerda decresce infinitamente.

Teorema 3: Teorema do valor máximo

Suponhamos que f (c) seja o máximo absoluto (ou mínimo absoluto) da função contínua f no