Métodos de integração

Passo 1

Os métodos de integração surgiram para facilitar o cálculo de algo que aparentemente é difícil de se integrar, transformando para uma equação mais simples e fácil de se integrar.

Integração por substituição

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variável u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo du = g’(x) dx:

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Integração por partes

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que com u e v deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

Com um intervalo de integração definido em [a,b], com derivadas continuas fica-se com:

Passo 2

Resposta correta letra (A) o I e II são verdadeiras.

Resolvendo a primeira, temos:

Fazendo a substituição por u e du obtemos:

Assim, a primeira é verdadeira.

Agora resolvendo a segunda temos:

Fazendo a substituição por u e du obtemos:

Com isso, a segunda também é verdadeira.

Passo 3

Como a alternativa correta foi a alternativa a, iremos associa-la ao número 4.