P A P G

INVESTIGANDO PADRÕES EM PA E PG

Maria Auxiliadora Lage Moura

Mestrado em Ensino de Matemática PUC – Minas

Fundação Comunitário de Ensino Superior de Itabira- Funcesi

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Introdução

Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais se a seqüência for infinita ou os primeiros n números naturais se ela for finita. A progressão aritmética é uma função afim de domínio natural.

Dada uma progressão aritmética ( a1, a2, a3, ...an...)existe uma única função afim tal que para todo . E reciprocamete dada a função afim , seus valores formam uma progressão aritmética. (Lima,2001, p.23).

Embora a fórmula do termo geral de uma PA, sugira esta conexão, não encontramos o fato explicito em livros didáticos. Assuntos aparentemente diferentes, porém relacionados, devem ter suas conexões ressaltada, pois as propriedades de um conceito podem ser utilizadas para se obter as propriedades do outro.

Se os conceitos são apresentados de forma fragmentada, mesmo que de forma completa e aprofundada, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação para idéias isoladas e desconectadas umas das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio envolvidos nos diversos conteúdos, no entanto o fracasso escolar e as dificuldades dos alunos frente a Matemática mostram claramente que isso não é verdade. ( PCNEM, 1999. p.255)

Portanto as progressões devem ser estudadas permitindo conexões entre os diversos conceitos matemáticos e buscando ainda a sua relevância cultural, no que diz respeito às suas aplicações dentro e fora da Matemática.

As progressões geométricas apresentam várias aplicações na vida atual, seu estudo pode ser proposto por meio de várias situações como: crescimento de bactérias, aplicações financeiras, fractais, etc.

Um progressão geométrica se obtém quando se toma uma função de tipo exponencial, se consideram apenas valores , . Por isso é que os problemas em que se aplicam funções exponenciais são essencialmente os mesmos em que se usam progressões geométricas. (Lima,2001, p.24).

Isso deixa claro que os problemas de matemática financeira podem ser estudados via progressão geométrica ou via função exponencial.

Para Lima (2001) uma boa forma de introduzir seqüências numéricas, dentre as quais se destacam as progressões aritméticas e geométricas, se refere a “padrões matemáticos” que são seguidos por “situações que ocorrem na natureza”, na História de Matemática (números triangulares pitagóricos) e na vida econômica da sociedade contemporânea.

Toda seqüência tem que obedecer uma “lei de formação”, ou uma regra que permita dizer, para todo , qual é o seu n-ésimo termo, o que pode ser obtido por meio de observação de padrões, associações de idéia e generalizações.Da mesma forma as fórmulas de soma de PA e de PG, podem ser obtidas de maneira quase que intuitivas e a seguir observadas, generalizadas até chegar à abstração, como veremos durante as atividades propostas.

Uma importante conexão a ser feita é a construção e observação dos gráficos de progressões aritméticas e geométricas finitas. Neste momento fica evidente para o aluno a distinção do domínio real em funções e do domínio natural para as progressões aritméticas e geométricas. Bem como a compreensão da união ou não dos pontos de um gráfico, pois “ o gráfico de uma progressão finita é sempre um número finito de pontos” (Carvalho, 1997, p.25). Outro fato que fica evidente é se a progressão é crescente, decrescente, constante ou oscilante, desenvolvendo assim a habilidade de visualização do comportamento dos fatos.

De acordo com Pires (2000) ao delinear um planejamento de uma conteúdo ou currículo de uma escola é fundamental possibilitar o desenvolvimento de uma postura crítica sobre as questões envolvidas, buscando perceber suas relações com outros objetos, criando uma grande rede de informações entre temas e entre a Matemática e a realidade.

Este mini-curso propõe atividades investigativas, estabelecendo conexões entre os conteúdos matemáticos, permitindo que o aluno faça levantamento de informações, formule conjecturas baseadas em seus conhecimentos prévios, realizando provas e refutações, comunicando os resultados aos colegas de turma e ao professor por meio de argumentações. Desenvolvimento de conceitos, procedimentos, valores e atitudes para que ele aprenda a aprender Matemática, além de ganhar confiança e autonomia.

O desenvolvimento de Investigações Matemáticas em sala de aula representa um contexto rico e desafiador de aprendizagem tanto para o aluno quanto para o professor. Para o aluno porque este passa a constituir-se em sujeito de conhecimento, isto é, alguém que sente o prazer de participar da produção/criação das idéias matemáticas. Para o professor porque pode encontrar nas Investigações Matemáticas um modo significativo de ensinar, compreender, trabalhar e estabelecer relação com a Matemática, levando os alunos a se interessarem pelas aulas de álgebra, fato pouco comum, atualmente, em nossas escolas. (Fiorentini, p.21)

A utilização de atividades de investigação matemática é um trabalho que o professor pode desenvolver, em sala de aula, com o objetivo de proporcionar um ensino mais significativo, despertar a curiosidade, criatividade e prazer nos alunos.

As atividades propostas consistem em busca de padrões, regularidades e invariantes em progressões:

Quando apelamos aos padrões no ensino da matemática é normalmente porque queremos ajudar os alunos a aprender uma matemática significativa e/ou a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um ambiente de aprendizagem que tenha algo a ver com a sua realidade e experiências. O estudo de padrões vai de encontro a este aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para descobrirem relações, encontrarem conexões, fazerem generalizações e também previsões. (Vale et al,p.5)

Elas foram seqüenciadas de forma que o aluno primeiramente entre em contato com as seqüências numéricas e seus respectivos gráficos, a seguir parte para a dedução das fórmulas do termo geral e soma de PA e PG e por fim as aplicações das progressões na