PRINCÍPIO BÁSICO DE CONTA

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem é uma técnica empregada para definir a quantidade de maneiras em que podemos combinar determinados elementos. De acordo com o PFC, se um evento for composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as distintas possibilidades de ocorrência em cada etapa.

Exemplo 1

Para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU".

Resolução:

Para saber o número de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72 possibilidades

Exemplo 2

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

Resolução:

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não se pode multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3)x (2 + 3)= 90 possibilidades

Exemplo 3

No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par podem ser formadas?

Resolução:

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o número formado seja par, teremos de limitar o último algarismo a um número par. Depois, basta multiplicar.

26 x 26 x 26 = 17.576 → parte das letras

10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 → parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora é só multiplicar as partes:

17.576 x 5.000 = 87.880.000

Existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos forme um número par.

Exercícios:

1 – Uma família decidiu passar o final de semana (sábado e domingo) em uma praia. Considerando que o clima possa estar chuvoso (C), nublado (N) ou ensolarado (E) em qualquer um dos dias, quantas são as possibilidades para o clima no final de semana? E quais são essas possibilidades?

2 – Rafael irá organizar um jantar em sua casa e, para isso, preparou três opções de bebida, quatro opções de prato principal e duas opções de sobremesa. Partindo do princípio de que uma refeição é composta por de uma bebida, um prato principal e uma sobremesa, de quantas maneiras distintas Rafael pode compor as refeições?

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) x ... x 3 x 2 x 1 sendo n∈N e n>1.

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800

Permutação simples ou anagramas

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão

P = n!

n! = nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x....x3x2x1

Por exemplo, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Exemplo 4

Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?

Resolução:

Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.

P = 4! = 24

Exemplo 5

De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?

Resolução:

Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.

P = 5!⟹P=5 . 4 . 3 . 2 . 1⟹P=120

Portanto, o número de posições possíveis é 120.

Exemplo 6

De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:

a) em qualquer ordem

Resolução:

Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos:

P=12!⟹

P=12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1⟹

P=479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher

Resolução:

Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: