Para A Solução Deste Exercício, Você Deve Usar A Calculadora HP 12C. (Lembre De Teclar "f" E Depois "CLX" Antes De Começar Os cálculos). Um Investidor Efetua Quatro Depósitos Anuais De R$ 6.000,00. Esses Depósitos são Remunerados Com Uma

2.3- Método Iterativo Linear (MIL)

A fim de introduzir o método de iteração linear no cálculo de uma raiz da

equação

(2.1) f(x) = 0

expressamos, inicialmente, a equação na forma:

(2.2) x = Y(x)

de forma que qualquer solução de (2.2) seja, também, solução de (2.1). Em geral há muitas

maneiras de expressar f(x) na forma (2.2). Basta considerarmos

Y(x) = x + A(x) f(x),

para qualquer A(x) tal que A(x

_

) ¹ 0 .

Nem todas, porém, serão igualmente satisfatórias para as nossas finalidades.

Algumas formas possíveis da equação

(2.3) f(x) = x2 - x - 2 = 0

por exemplo, são

a) x= x2 - 2 c) x= 1 +

2

x

b) x= 2 + x d) x= x -

x x

m

2 - - 2

, m ¹0 (A(x) = m

1

).

Geometricamente, uma raiz de (2.2) é um número x = x

_

, para o qual a reta y = x intercepta

a curva y = Y(x). Pode ocorrer, naturalmente, que estas curvas não se interceptem, caso

em que não haverá solução real. Admitiremos, contudo, que essas curvas se interceptem no

mínimo, uma vez; que estamos interessados em determinar uma dessas raízes, digamos x =

x _

, e que y(x) e y’(x) sejam contínuas num intervalo que contenha essa raiz. Seja x = x0

uma aproximação inicial para a raiz x = x

_

de (2.2). Obtemos as aproximações sucessivas xi

para a solução desejada x = x

_

, usando o processo iterativo definido por:

(2.4) xi+1 = y(xi), i = 0, 1, . . .

Esse processo é chamado de Método Iterativo Linear.

Para que esse processo seja vantajoso, devemos obter aproximações sucessivas tais que a

sequência xi seja convergente. Mas existem casos em que esta é divergente.

Em (2.3.a), por exemplo, consideramos x0= 3. Então

x1 = y(x0) = x0

2

- 2 = 32 - 2 = 7

47

x2 = y(x1) = x1

2

- 2 = 72 - 2 = 47

x3 = y(x2) = x2

2

- 2 = (47)2 - 2

e é óbvio que se trata e uma sequência divergente.

As condições suficientes para assegurar a convergência da iteração linear estão contidas no

Teorema 2.3, cujas demonstrações se encontram em livros de Cálculo ou Análise

Matemática.

Teorema 2.3.1 - Teorema do Valor Médio.

“Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) então existe no mínimo um ponto e entre

a e b tal que

f”(e) =

f b f a

b a

( ) - ( )

-

ou

f(b) - f(a) = f’(e) (b-a) ”.

Teorema 2.3.2 - Teorema da Permanência do sinal

“Seja f uma função real de variável real definida e contínua numa vizinhança de x0.

Se f(x0) ¹ 0 então f(x) ¹ 0 para todo c pertencente a uma vizinhança suficientemente

pequena de x0’.

Teorema 2.3.3 – Teorema de Convergência do MIL

Seja y(x) contínua com derivadas primeira e segunda contínuas num intervalo fechado I

cujo centro x

_

é solução de x= y(x). seja x0 Î I e y'(x) £ M < 1 sobre I. Então:

a) a iteração xk+1 = y(xk), k = 0, 1, . . . , pode ser executada indefinidamente, pois xk ÎI, "

k.

b) x - x ®0 k .

c) Se “y’(x

_

) ¹ 0 ou “y’(x

_

) = 0 e y”(x

_

) ¹ 0” e se x - x 0 for suficientemente pequeno

então a sequência x1, x2, . . . .será monotônica ou oscilante.

Prova:

a) ( por indução)

Por hipótese x0 Î I.

Suponhamos que x0, x1, . . ., xk Î I e provemos que xk+1 Î I.

Temos

48

xk+1 - x

_

= y’( xk ) ( xk - x

_

) onde xk está entre xk e x

_

Portanto x x k - +1 = ´( ) k y x x x k - £ M x x k - .