REPRESENTAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS

REPRESENTAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS

1.1. Representação de sistemas

1.1.1. Sistemas com uma entrada e uma saída (SISO)

e = entrada

s = saída

S = sistema

Sistema monovariável

SISO = Single Input – Single Output

1.1.2. Sistema com várias entradas e saídas (MIMO)

ei = entrada i

si = saída i

S = sistema

MIMO = Multiple Input – Multiple Output

1.2. Classificação de sistemas

1.2.1. Sistemas lineares e não-lineares

Dado o sistema

a) Princípio da Homogeneidade

Se para

Então para

Diz-se que o sistema atende o “Princípio da Homogeneidade”.

b) Princípio da Aditividade

Se para

e

então

Diz-se que o sistema atende o “Princípio da Linearidade”.

Exemplo 1: Verificar se o sistema S=t2e é linear.

Para uma entrada e1 → S1 = t2e1

E para e2 → S2 = t2e2

Para a entrada k1e1+ k2e2 → S= t2(k1e1+ k2e2)

Mas como k1s1+ k2s2 = k1t2e1+ k2t2e2) = t2(k1e1+ k2e2)

Tem-se que

O sistema atende o Princípio da Linearidade, portanto o sistema S=t2e é linear!

Exercício 1: Seja o sistema S=ae+b, onde “e” é a entrada e “a” e “b” são constantes. Verifique se o sistema é linear e, em caso contrário, verifique qual dos princípios ele não atende.

Exercício 2: Seja o sistema y=sen(x), onde x é a entrada e y é a saída. Verifique se o mesmo é linear.

Exercício 3: Seja o sistema y= dx + 2x , onde x é a entrada e y é a saída. Verifique se o mesmo é linear.

Pode ser facilmente verificado que o sistema do exercício 1, ou seja, y=ax+b, não atende nenhum dos princípios estudados. Sendo assim, podemos afirmar que este sistema é não linear (a priori).

Note, entretanto, que este sistema descreve a equação de uma reta, conforme ilustrado abaixo.

y=ax+b

onde x é a entrada e y é a saída

Observe que para uma entrada nula x=0 a saída não é nula y≠0. Isto significa que o sistema não está em repouso, ou em outras palavras, possui condições iniciais não nulas.

Com base na análise feita até aqui, podemos concluir que embora a relação entrada-saída seja descrita por uma reta, esta relação não é linear. Observe agora que, se deslocarmos o eixo y de uma quantidade “b”, teremos a seguinte relação:

y’= y – b

y = y’ + b = ax + b

Logo

Com este deslocamento do eixo y obtém-se um sistema cuja relação entrada-saída é linear y’= ax (verifique). Este deslocamento consiste, na prática, na consideração de que o sistema está inicialmente em repouso ou relaxado. Logo, para uma entrada x=0 temos uma saída y’=0. Se o sistema analisado for um circuito RC, por exemplo, considera-se que o capacitor está completamente descarregado antes do circuito ser alimentado.

A seguir é apresentada uma definição formal de linearidade.

Linearidade: Um sistema relaxado é dito ser linear, se e somente se

H (α1μ1+ α2μ2) = α1Hμ1+ α2Hμ2 (i)

para quaisquer entradas μ1 e μ2 e para quaisquer números reais α1 e α2. De outro modo, o sistema é dito ser não linear.

Obs.: H é um operador ou função que especifica a relação entre a entrada μ do sistema e sua saída y.

Na literatura de engenharia, a condição acima (i) é comumente escrita como:

H(μ1+ μ2) = Hμ1+ Hμ2 (ii)

e H(α μ1) = αHμ1 (iii)

Para quaisquer μ1 e μ2 e qualquer real α. É fácil verificar que a condição (i) e o conjunto de condições (ii) e (iii) são equivalentes. A relação (ii) é chamada de Propriedade da Aditividade e a relação (iii) é denominada de Propriedade da Homogeneidade. Se um sistema relaxado tem estas duas propriedades, ele é dito ser linear.

Note que se um sistema qualquer não satisfaz uma das condições anteriores (ii) ou (iii), podemos afirmar que este sistema é não linear. Neste instante, surge uma questão importante: Podemos concluir a respeito da linearidade de um sistema se testarmos apenas uma das condições e verificarmos que a mesma é satisfeita? Ou, de outra forma: A verificação de uma das condições é suficiente para afirmar que o sistema é linear?

Em geral, a propriedade da Homogeneidade não implica na propriedade da Aditividade, ou seja, um sistema pode satisfazer a propriedade da Homogeneidade e não satisfazer a da Aditividade.

A propriedade da Aditividade, no entanto, implica na propriedade da Homogeneidade, ou seja, a condição H(μ1+ μ2) = Hμ1+ Hμ2 para quaisquer μ1 e μ2 implica em H(α μ1) = αHμ1 para qualquer número racional α.

Sendo assim, se a propriedade da Aditividade for verificada, podemos concluir de imediato, que o sistema