Relatório Bomba Ariete

Integrais

O Conceito de integral é mais antigo que o de derivada, enquanto este surgiu no século XVII, a ideia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um solido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285 – 212 a.C.) na antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica , não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltaram recursos para o natural desabrochar de um ”calculo integral ” sistematizado.

Devido a isto, os problemas que se que se punham eram os de calcular áreas, volumes e comprimentos de anos. Por exemplo: suponhamos dada uma função F = [a;b] – IR, limitada no intervalo [a;b]. Admitamos, por simplicidade, que F seja não negativa, isto é, f(x) ≥ 0, ∀x E IR. Consideramos o conjunto S = {(x, y) E 〖IR〗^2; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}, formadas pelos pontos compreendidos pelos eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais X = a e X = b. Qual a área deste conjunto? Em primeiro lugar e Necessário dizer o que significa a “área”, de S, e em seguida , tenta calculá-la.

A área de um subconjunto limitado S no plano 〖IR〗^2 deve ser um numero real. Como Defini-lo? Podemos admitir que sabemos calcular as áreas de polígono e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contido em S. Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S. Poderíamos Também considerar as áreas dos polígonos contido em S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a uma mesmo resultados.

Ao considerar a área de uma conjunto S podemos, por simplicidades, restringir nossa atenção a polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lodos são paralelos aos eixos X = 0 e Y = 0.

Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função não negativa f[a; b] – IR, de modo que S = {(x, y) E 〖IR〗^2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}, basta considera os polígonos retangulares formados por retângulos cujos base inferiores estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura abaixo:

A área S, por falta, será definida como integral inferior (figura acima) e a área por excesso, como integral superior de f.

A teoria da integral desenvolve-se, segundo as ideias de Newton e Leibniz, como o inverso da derivada. Entretanto, Cauchy retornou a concepção de Leibniz como o estudo da integral na classe das funções continuas em um intervalo [a; b]. De posse na noção de limite definiu integral para uma função continua em [a; b] representada por :

∫▒f(x)dx

Posteriormente o conceito de integral de Cauchy foi estendido à classe das funções quase continuas por Riemann. O passo decisivo na teoria de integral foi dado em 1901 por Lebosgue.

Resolução dos desafios

Desafio A

∫▒〖(□(a^3/3)+□(3/a^3 )+□(3/a)).da=∫▒〖a^3/3.da+ ∫▒〖3.a^(-3).da+ ∫▒〖3/a.da〗〗〗〗

1/3.a^4/4+ (3.a^(-2))/(-2)+3 ln⁡〖|a|+C〗

a^4/12+ 3/〖-2a〗^2 +3 ln⁡〖|a|+C〗

F(a) = a^4/12-3/〖2a〗^2 +3 ln⁡〖|a|+C〗

Alternativa