Teoremas Do Valor Intermediário, De Rolle E Valor Médio: Um Olhar Em Dois Livros De Cálculo

Teoremas do Valor Intermediário, de Rolle e Valor Médio: um olhar em dois livros de Cálculo

Edinalva da cruz Teixeira Sakai

Thais Coelho do N. Silva

Resumo:

Neste trabalho pretendemos investigar, à luz da Teoria Antropológica do Didático e dos Modelos de Espaços das Organizações Didáticas possíveis de Gáscon, como os autores Louis Leithold e Geraldo Ávila apresentam os Teoremas do Valor Médio, de Rolle e Valor Intermediário. Analisaremos as Organizações Matemáticas (tipos de tarefas, técnicas, tecnologia e teoria) e Didática (pelos momentos de estudos) e ainda buscaremos classificá-las de acordo com os modelos das organizações didáticas ideais: clássicas, empiristas e construtivistas.

Palavras-chave: Livros de Cálculo, Teorema do Valor Médio, TAD.

Introdução

Esse trabalho trata da análise de dois livros de Cálculo: “Cálculo das funções de uma variável” de Geraldo Ávila, e “O Cálculo com Geometria Analítica” de Louis Leithold,, mais especificadamente dos conteúdos: Teoremas do Valor Intermediário, de Rolle e Valor Médio.

Nosso objetivo é analisar como os autores apresentam esses temas e para isso, utilizamos como referencial teórico e metodológico o Modelo das Organizações Didáticas Possíveis de Gascón (2003), e a Teoria Antropológica do Didático – TAD de Yves Chevallard (1999), pois este referencial possui fundamentos para analisarmos tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias, ou seja, os elementos que compõe uma organização praxeológica.

Segundo Almouloud (2007, pag. 114) “na TAD, as noções de (tipo de) tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e teoria permitem modelar as práticas sociais em geral e, em particular, a atividade matemática [...].”

Em toda prática institucional há um sistema de tarefas e técnicas, onde para se cumprir uma tarefa é necessária uma técnica. A um tipo de tarefa podem estar associadas tarefas determinadas por um verbo, por exemplo: calcular, determinar, resolver, etc. Um tipo de tarefa está associada a uma maneira de fazer, que recebe o nome de técnica. A técnica por sua vez é justificada por uma tecnologia, ou seja, uma explicação científica que prova sua validade. Esta última é justificada por uma teoria, isto é, há um grau ainda mais elevado do saber que comprova sua veracidade.

Denomina-se praxeologia a forma de entender as ações humanas, a qual é representada, segundo Chevallard (1999), pelo conjunto [T, τ, θ, Θ], onde T representa tipo de tarefa, τ representa a técnica, θ a tecnologia e Θ a teoria. Este conjunto se divide em dois blocos, o bloco prático-técnico [ T, τ ], chamado bloco do saber-fazer e o tecnológico-teórico [ θ, Θ ], destinado ao saber.

No conceito teórico da TAD, Chevallard (1999), define organização matemática, organização didática, objetos ostensivos e não-ostensivos.

A organização matemática, diz respeito a como é direcionado o conteúdo com relação ao enfoque matemático. A organização didática é entendida como sendo as situações presentes no decorrer do trabalho didático realizado em torno de uma dada organização matemática, chamados por Chevallard de momentos de estudo ou momentos didáticos, sendo que estes momentos não tem uma ordem cronológica de acontecimentos, ou seja, um ou outro momento pode ser iniciado sem antes ter-se passado pelos outros momentos.

No primeiro momento acontece o contato do sujeito com as primeiras tarefas.

No segundo momento acontece a exploração das tarefas visando já o desenvolvimento de uma técnica que possibilite a resolução desses tipos de tarefas.

O terceiro momento é onde se inicia a elaboração das tecnologias e teorias que vão justificar as técnicas aplicadas na execução dos vários tipos de tarefas. No ensino tradicional, este momento é a primeira etapa do estudo. As tarefas são usadas como aplicação.

O quarto momento é a etapa onde ocorre o trabalho com a técnica.

O quinto momento é a etapa da institucionalização. É nessa fase que a organização matemática é definida.

O sexto e último momento é o momento da avaliação das produções elaboradas pelos alunos.

Quanto aos objetos ostensivos são aqueles que possuem certa materialidade, que são passíveis de serem manipulados, por exemplo: a fala, a escrita, os gráficos. Os objetos não-ostensivos, ao contrário do anterior são abstratos, isto é, a única forma de acesso é realizada pelo pensamento.

Sendo assim, analisamos as Organizações Matemática (tipos de tarefas, técnica, tecnologia e teoria) e Didática (pelos momentos de estudos) propostas nos dois livros, buscando identificar os Modelos de Espaços das Organizações Didáticas possíveis de Gascón, afim de, classificá-los de acordo com o modelo das organizações didáticas ideais.

O modelo do espaço das organizações didáticas possíveis trata-se de um hipotético espaço tridimensional onde cada um dos eixos representa uma organização didática possível (Gáscon, 2003, p.19). O autor, ainda cita outros três tipos de organizações didáticas ideais: as OD clássicas que combinam os momentos tecnológico-teórico com o trabalho das técnicas, as OD empiristas que pretendem integrar os momentos exploratórios com o trabalho das técnicas e as OD construtivistas que aliam os momentos tecnológico-teórico com exploratório. Cada um destes três tipos de ideais bidimensionais se situam nos planos coordenados do espaço das OD ideais possíveis (Gáscon, 2003, p.21).

As Análises

Obras analisadas:

Livro Obra Autor Edição/ano Editora

1 O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1 Louis Leithold 3ª ed. 1990 Harper & Row do Brasil

2

Cálculo das funções de uma variável Vol. 1

Geraldo Ávila

7ª ed.

LTC

LIVRO 1:

Nesta obra, Leithold aborda o Teorema de Rolle e o Valor Médio, nas seções 4.3, 4.3.1, 4.3.2 e 4.3.3 do