Álgebra 2

UNEB - UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

GEAD – GESTÃO DOS PROJETOS E ATIVIDADES EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS I

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA À DISTÂNCIA

DISCIPLINA: ÁLGEBRA II PROFESSORA FORMADORA: Odete Amanda

Alunos: Janaina Fernandes, Jarildes Matos e Josãnia Araújo.

Lista de exercício 2

QUESTÃO 01. O trio a seguir é um anel:〈R,⨁,⨂〉, onde ∀x, y∈R vale: x⨁y = x + y + 1

x ⨂ y = x . y + (x + y).

Determine o zero do anel.

x⊕e=x

x+e+1=x

e+1=x-x

e+1=0

e=-1

Verifique se é anel comutativo.

Para quaisquer x,y ∈A tem-se x.y=y.x

Logo x.y+(x+y)=y.x+(y+x)é um anel comutativo.

Determine a sua unidade, se possível.

x⨂w=x ,temos que:

x.w+(x+w)=x

x.w+x+w=x

x.w+w=x-x

w(x+1)=0

w=0

Verifique se existem elementos inversíveis.

Dados dois elementos x,y diferente do zero do anel-1

são inversíveis se o produto entre x e y for igual a zero.

Logo,os elementos inversíveis do conjunto são 1 e 0,visto que,1.0=0

Questão 2:

a) Justifique a afirmação: 〈Z_13,+,x〉 é um anel de integridade.

Em Z_13,o m é 13,e esse número é primo. Logo, 〈Z_13,+,x〉 é um anel de integridade.

b) Determine quatro pares de divisores do zero anel 〈Z_16,+,x〉

2 ̅⨂8 ̅=0

4 ̅⨂4 ̅=0

4 ̅⨂8 ̅=0

4 ̅⨂(12) ̅=0

Questão 3:

a) Verifique se o conjunto {0, 3, 6, 9, 12} é subanel do anel 〈Z_18,+,x〉

i) x-y∈B

0-0=0+0=0 ϵ B

0-3=0+3=3 ϵ B

0-6=0+6=6 ϵ B

0-9=0+9=9 ϵ B

0-12=0+12=12 ϵ B

3-0=3+0=3 ϵ B

3-3=3+3=6 ϵ B

3-6=3+6=9 ϵ B

3-9=3+9=12 ϵ B

3-12=3+12=15≠ B

15 não pertence a B

Logo, {0, 3, 6, 9,12} não é subanel de 〈Z_18,+,x〉

b) Verifique se o conjunto {0,4,8} é subanel de 〈Z_12,+,x〉

i) x-y∈B

0-0=0∈B

0-4=0+8=8∈B

0-8=0+4=4∈B

4-0=4+0=4∈B

4-4=4+8=0∈B

4-8=4+4=8∈B

8-0=8+0=8∈B

8-4=8+8=4∈B

8-8=8+4=0∈B

ii) x.y∈B

0.0=0∈B

0.4=0∈B

0.8=0∈B

4.4=4∈B

4.8=8∈B

8.8=4∈B

Logo, o conjunto {0,4,8} é subanel de 〈Z_12,+,x〉

Questão 4:

a) Verifique se o conjunto 3ℤ é subanel do anel ℤ.

i) 3Z é fechado para as operações do anel Z.

{3+n∈3Z;n∈Z}

{3×n∈3Z;n∈Z}

b) Verifique se o conjunto ℤ é ideal do anel ℚ.

Demostração:

a×x=x×a=x

temos:

a=1/2 ∈Q

x=3∈Z

1/2×3=3/2

3× 1/2=3/2

Logo,Z não é ideal de Q

c) Verifique se o conjunto é{ a+b√3 ; a, b ∈Ζ} é ideal do anel ℝ

i) (-3+2√3)-(5-3√3)=8+5√3∈Z

ii) 1/2 (-3-4√3)=-3/2-2√3∉Z

Logo,o conjunto {a+b√3;a,b∈Z} não é ideal de R

d) Verifique se o conjunto é{ a+b√3 ; a, b ∈Ζ} é ideal do anel ℝ

Questão 5:

Determine o grau dos polinômios dados.

f(x)=1 ̅x^4+3