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PASSO 2

2. SERIES HARMONICAS

2.1 SERIES HARMONICAS NA MUSICA

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de freqüências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras freqüências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas freqüências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou freqüência), mas sim um conjunto de várias freqüências, que são chamadas de harmônicos. A importância que cada harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre.

Num texto anterior (“Música das Esferas”) falamos sobre Pitágoras (570 a.C. - 496 a.C.), o matemático grego que descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.

Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua extensão e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou Pitágoras. Conseqüentemente, escutamos o som da vibração total da corda e os sons das vibrações secundárias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua série harmônica.

2.2 SÉRIE HARMONICA MATEMÁTICA

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

O nome harmônica é devido à semelhança com proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme1 ) faz-se tendo em conta que a série é termo a termo maior que ou igual à série que claramente diverge.

Curiosidades

O fato da série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais (somar um número considerável de partes e observar a tendência). Foi umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Mas não paremos por aqui. Suponha que exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. Tal computador seria o mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste. Se tal computador fosse somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilhão de anos 315.576x1034 termos! Os resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804 ; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do universo, há cerca de 15 bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,235 para a soma da série harmônica. Vamos além! O número 1080 é maior que todos os valores anteriores, superando até a quantidade de átomos do universo conhecido. Pois bem, para essa quantidade de termos a soma de todos eles é aproximadamente: 184,784 e permanece nesse mesmo valor aumentando-se drasticamente a quantidade de termos, como 1080 + 109 ou 1080 + 1012. Veja que a cada passo estamos aumentando enormemente a quantidade de termos, no entanto, a soma Sn permanece a mesma. Em vista disso nada mais natural do que concluir que a série seja convergente. Mas, como sabemos, isso é falso. Vemos então que jamais descobriríamos a divergência da série harmônica por meios puramente experimentais. Como se chega então aos números 94,235 ou 184,784, se, para obtê-los, o idealizado computador mais rápido do universo deveria ficar ligado durante 15 bilhões de anos? Sim, essa é uma pergunta interessante e muito pertinente. Realmente, nenhum computador consegue fazer a soma Sn dos termos da série diretamente para valores muito grandes. Mas é possível substituir essa soma por uma expressão matemática que aproxime Sn e que possa ser calculada numericamente; e os matemáticos sabem disso desde os tempos de Euler, há mais de 250 anos! Isso mostra ainda que devemos ter cuidado