Passo 1

A seqüencia u1, …, uk é o sistema de vetores ortogonais e (não necessariamente) normalizados e1, …, ek formam um conjunto ortonormal, ou seja: de vetores ortogonais entre si dois a dois e normalizados.

Para verificar que estas fórmulas resultam em uma sequência ortogonal, primeiro compute 〈u1, u2〉 substituindo a fórmula acima por u2: encontra-se 0 (zero). Então usando esse facto para computar 〈u1, u3〉 novamente substituindo a fórmula por u3: encontra-se 0. A prova geral processa-se por indução matemática. O processo de Gram-Schmidt determina uma base de vetores ortonormais que, ao sofrer uma composição linear por uma matriz alternativamente diagonal, se torna equivalente à aplicação linear da base canónica que sofreu o processo.

Exemplo

Estabilidade numérica[editar | editar código-fonte]

Aproximação[editar | editar código-fonte]

Quando implementado em um computador, os vetores uk não são precisamente ortogonais devido ao erro de aproximação. Para o processo de Gram–Schmidt como descrito acima essa perda de ortogonalidade é particularmente ruim; portanto, é dito que o processo ingênuo de Gram–Schmidt é numericamente instável.

O processo de Gram–Schmidt pode ser estabilizado por uma pequena modificação. Ao invés de computar o vetor uk por

\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_k - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_k - \cdots - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_{k-1}}\,\mathbf{v}_k,

ele é computado por

\mathbf{u}_k^{(1)} = \mathbf{v}_k - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_k,

\mathbf{u}_k^{(2)} = \mathbf{u}_k^{(1)} - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2} \, \mathbf{u}_k^{(1)},

\vdots

\mathbf{u}_k^{(k-2)} = \mathbf{u}_k^{(k-3)} - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_{k-2}} \, \mathbf{u}_k^{(k-3)},

\mathbf{u}_k = \mathbf{u}_k^{(k-2)} - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_{k-1}} \, \mathbf{u}_k^{(k-2)}.

Essa série de passos resulta no mesmo conjunto do pr