Calculo Numerico

É um erro inerente ao método numérico. Surge cada vez se substitui um processo matemático infinito por um processo finito ou discreto.

Em matemática, sobretudo na análise numérica, o erro de truncamento é erro que surge do truncamento de expressões matemáticas em um número finito de passos.

Em uma série de Taylor S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n\,, o erro de truncamento de ordem N em ponto x, R_N(x)\, é definido como a diferênça entre o valor exato de S(x)\, e a soma dos N primeiro termos da série:

R_N(x)=\sum_{n=N+1}^\infty a_nx^n\,

A série de Taylor da função f definida por f(x)= ex em torno de x=1 é expressa por:

ex= 1+ x+ \frac{x^{2}}{2!}+ \frac{x^{3}}{3!}+ …+ \frac{x^{n}}{n!}+ …, então

e1= 1+ 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ …+ \frac{1}{n!}+ …

Desejando -se calcular o valor de e1 utilizando-se os sete primeiros termos da série, tem-se:

e1≈ 1+ 1+\frac {1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}

e≈ 2.718055556

Há um erro de truncamento, pois dos infinitos termos da série foram considerados apenas os sete primeiros.

Capítulo 1

Representação de Números e Erros

Neste capítulo serão considerados aspectos básicos a respeito do cálculo numérico: a representação de números inteiros e de ponto flutuante em código binário e as fontes de erros que invariavelmente ocorrem quando se faz necessário usar uma representação finita para representar um número ou uma função matemática que, em geral é transcendental e/ou necessita de uma soma ou produto infinito de números para ser exatamente representado.

1.1 Fontes de erros e incertezas

Embora sempre se busque soluções “exatas” aos problemas que enfrentamos, raramente atingimos o nosso objetivo. Erros e incertezas podem ser introduzidos em cada etapa da formulação e solução de problemas. A natureza das incertezas que surgem quando se busca a solução de um problema será abordada neste capítulo. Simultaneamente, os erros introduzidos pela computação numérica, destinada a buscar a solução desejada, serão examinados com um certo grau de detalhe.

O processo de solução de um problema é dividido em três fases:

Formulação precisa de um modelo matemático e o seu modelo numérico relacionado.

Construção de um método destinado a resolver o problema numérico.

Implementação de um método para calcular a solução.

Na discussão que será feita a respeito das fontes de erro em cálculo numérico, não serão considerados erros triviais que podem ser evitados, tais como copiar uma fórmula erroneamente ou realizar um erro de sintaxe na programação, muito embora tais erros ocorram e perfaçam uma fração considerável do esforço e do tempo dispendidos ao se trilhar as três fases mencionadas acima.

Neste capítulo estaremos somente interessados nos erros que resultam ser inevitáveis, dada a própria natureza da representação finita de números em um computador e/ou da implementação numérica de um determinado cálculo. As incertezas introduzidas contaminam a solução e é importante tentar-se balancear as incertezas. Se a incerteza no modelo matemático é de 1%, então não faz sentido a implementação de um modelo numérico e de um método que atinja 6 dígitos de precisão, por exemplo.

O diagrama da figura 1.1 ilustra o processo usualmente percorrido quando se busca uma solução para um problema físico real a partir de uma modelagem, inicialmente matemática, seguida por uma modelagem computacional e, finalmente, passando pela implementação do método numérico a partir da modelagem computacional, seguida pela obtenção dos resultados. As incertezas ocorrem desde a fase de modelagem matemática até a solução numérica. Neste capítulo, serão abordadas algumas fontes de incertezas na etapas de modelagem computacional e implementação do método numérico.

PIC

Figura 1.1: Diagrama que representa o processo de solução numérica de um problema físico real, indicando em que etapas entram as incertezas.

1.2 Representação de números em diferentes bases

Nesta seção serão discutidos alguns métodos para a mudança de base na representação de números, tanto inteiros quanto reais. É fato comum para grande parte dos computadores atualmente empregados na modelagem computacional o emprego de uma base numérica distinta da base decimal, à qual o seres humanos tendem a se apegar. Em geral, os números são armazenados na base 2 (binária), existindo ainda plataformas que os armazenam na base 8 (octal) ou na base 16 (hexadecimal). A representação de números inteiros é ligeiramente distinta da representação de números reais.

1.2.1 Representação de números inteiros e conversões de base

De uma forma geral, um número inteiro N é representado, na base b, por um conjunto de dígitos ai, (i = 0,1,2,…), sendo que ai assume um intervalo de valores determinado pela base em uso. A tabela 1.1 indica estes valores para as bases mais utilizadas, inclusive para a base decimal.

Tabela 1.1: Intervalos de valores para os dígitos ai da base b.

b ai

2 0, 1

8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Há no mínimo duas maneiras de se representar o número N. O sistema posicional agrupa os dígitos na forma de uma seqüência, na qual a magnitude da contribuição de cada dígito ao número depende da posição relativa que este ocupa. Neste sistema, o número N é escrito como:

N = (anan- 1...a1a0)b.

A contribuição de cada dígito para o valor de N fica explicitada na forma polinomial, onde N é escrito como:

n