Teste

Exercícios - Distribuição Normal (Gauss)

Gabriel Domingues RA: 6466347166

Ricardo Willian Kemp RA: 6277279408

Anderson Maciel RA: 6846502362

Orestes Barbosa da Silva RA: 6248235409

Emanuel B. da Silva RA: 6816455886

Nicolas Cassola de Oliveira RA: 1299518029

01. Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m., respectivamente.

Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.

Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

Solução

Seja,

XA: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A XB: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B

XA~N(10; 22) LucroA: 1200 u.m.

XB~N(11; 32) LucroB: 2100 u.m.

PrejuízoA: 2500 u.m.

PrejuízoB: 7000 u.m.

(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

P(restituição de A) = P(XA < 6) = P(Z < (6-10)/2) = P(Z<-2,0) = 1 - A(2) = 1-0,9772 = 0,0228

P(restituição de B) = P(XB < 6) = P(Z < (6-11)/3) = P(Z<-1,67) = 1- A(1,67) = 1-0,9525 = 0,0475

A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B, respectivamente, são 2,28% e 4,75%.

(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.

P(não restituição de A) = 1 – P(restituição de A) = 1 – 0,0228 = 0,9772 P(não restituição de B) = 1 - P(restituição de B) = 1 - 0,0475 = 0,9525

Lucro médio de A = 1200 x 0,9772 – 2500 x 0,0228 = 1115,64 u.m.

Lucro médio de B = 2100 x 0,9525 – 7000 x 0,0475 = 1667,75 u.m.

(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro B é maior que o lucro médio de A.

02. A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?

Solução

A solução do problema resume-se em determinar a proporção da distribuição que está acima de 10 ppm, isto é, P (X>10). Usando a estatística Z temos:

P (X>10)=

P ( Z > (10-8)/1,5 ) = P ( Z > 1,33 ) = 1 – P ( Z ≤ 1.33 ) = 0,09

Portanto, espera-se que a água liberada pela fábrica exceda os limites regulatórios cerca de 9% do tempo.

03. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.

Solução

P24,85 ≤ x ≤ 25,15  Px ≤ 25,15− Px ≤ 24,85

25,15 − 25,08 24,85 − 25,08

 P Z ≤ − P Z ≤

0,05 0,05

 PZ ≤ 1,40− PZ ≤ −4,60  0,9192 − 0,0000  0,9192

ou seja, 91,92% dentro das especificações(área cinza) e 8,08% fora das especificações.

LEI x LES

σ=0,05

24,85 25,08 25,15

04. Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes.

Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes?

Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes?

Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar abaixo desse valor seja 0,98.

Seja X a representação da corrente em miliámperes. A probabilidade requerida

pode ser representada por P ( X > 13 ). Faça Z = ( (X-10)/2 ). Nota-se através da

tabela que X > 13 corresponde a Z > 1,5. Assim, da tabela :

P ( X > 13 ) = P ( Z > 1,5 ) =

= 1 – P ( Z ≤ 1,5 ) =

= 1 – 0,93319 =

= 0,06681

(b) Qual a probabilidade de