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terça-feira, 23 de julho de 2013

Arranjos simples e com repetição - exemplos e questões

Artigo sobre arranjo simples e com elementos repetidos com exemplos e questões de vestibulares para um melhor aprendizado.

Arranjo simples

Arranjo simples de n elementos tomados r a r, onde n>=1 e r é um número natural, é qualquer ordenação de r elementos dentre os nelementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos.

Por exemplo, os agrupamentos de dois formados pelos elementos do conjunto A = {1, 2, 3} são: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2).

Diferentes pela natureza: (1,2) e (2,3)

Pela ordem dos elementos: (1,3) e (3,1), (1,2) e (2,1)

Nesse caso, o número de arranjos é indicado por A3,2. Os arranjos podem ser calculados utilizando dois métodos, o princípio fundamental da contagem ou pela expressão:

A^n_r = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}

Onde n\,\! é o total de elementos e r\,\! o número de elementos escolhidos.

Exemplos de arranjos simples:

Exemplo 1:

Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?

Temos dez candidatos para ocuparem duas vagas, dessa forma, temos o seguinte arranjo A10,2.

A escolha pode ser feita de 90 maneiras distintas.

Exemplo 2:

Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?

Nesse caso, a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:

arranjo4

Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.

Exemplo 3:

Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula:

A n , p = n!

(n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.

Arranjos com repetição (ou completo)

O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez.

Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

Exemplos de arranjos com repetição:

Exemplo 1:

Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5(2, 2):

Exemplo 2:

Num determinado país, as matrículas dos automóveis são formadas por 4 letras do alfabeto (de 26 letras). Quantas matrículas distintas são possíveis arranjar desta forma?

Observemos que é possível haver matrículas como: "AAAA" ou "YYWW". Mas devemos também ter em conta que as matrículas "ABCD" e "DCBA" são diferentes, apesar de constituídas pelos mesmos elementos. Temos assim de calcular os arranjos completos .

Para a primeira letra da matrícula temos 26 hipóteses; para a segunda letra,temos 26 hipóteses por cada uma das 26 primeiras; para a terceira letra, temos26 hipóteses por cada uma das 26 x 26 hipóteses anteriores; para a quarta letra, temos 26 hipóteses por cada uma das 26 x 26 x 26 hipóteses anteriores,o que perfaz o total de 26 x 26 x 26 x 26 = 264 hipóteses.

Assim, podemos concluir que . Ou, generalizando, .

Exemplo 3:

Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria para comprarem, cada um, um bolo. Nessa pastelaria existem sete bolos diferentes à escolha. De quantas maneiras diferentes pode ser feita a escolha dos bolos?

Cada amigo poderá escolher entre seis bolos, por isso, aplicaremos um arranjo com repetição de sete, quatro a quatro.

7A’4 = 74 = 2401

R.: A escolha dos bolos pode ser feita de 2401 maneiras diferentes

Diferença entre arranjos simples e arranjos com repetição (completos)

Arranjos Completos (A') - Há repetição, a Ordem conta

Arranjos Simples (A) - Não há repetição, a Ordem conta

Fontes: www.alunosonline.com.br

www.matematicadidatica.com.br

Questões resolvidas sobre arranjos simples e com repetição

1) Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

Solução:

2) Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através