Lista derivada e integrais
Por: Vinícius Vasconcelos • 22/3/2016 • Trabalho acadêmico • 1.671 Palavras (7 Páginas) • 555 Visualizações
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas
- A derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções.
- A derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico.
- Podemos, também, usar derivadas para auxiliar a construção de gráficos de funções e resolver problemas de taxa de variação, de taxas relacionadas e de otimização (máximos e mínimos)
Para plotarmos um gráfico, usaremos o roteiro abaixo:
Roteiro :
1. Encontrar o domínio da função
2. Encontrar os pontos de intersecção com os eixos (para encontrarmos a intersecção
com o eixo x, fazemos y=0 e para encontrarmos a intersecção com o eixo y ,
fazemos x=0)
3. Encontrar os pontos críticos da função (onde a derivada é nula e onde a derivada
não existe). O ponto crítico tem que pertencer ao domínio da função!
4. Estudar o crescimento e decrescimento da função (estudar o sinal da 1ª derivada )
5. Encontrar os Extremos ( Máximos e Mínimos ) relativos (ou locais) –Teste da 1ª
derivada
6. Estudar a concavidade (estudar o sinal da 2ª derivada) e achar ponto de inflexão
(onde a função troca de concavidade)
7. Assíntotas vertical e horizontal ( se existirem).
Exercícios
- Verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função [pic 1]
R: x > -10 f é crescente x < -10 f é decrescente
- Determine os intervalos em que a função [pic 2] é crescente, decrescente, determine os extremos relativos e esboce seu gráfico.
R: x < -2; x > 1 f é crescente -2 < x < 1 f é decrescente .
x[pic 3] = -2 é abscissa de ponto de máximo (-2; 13); x[pic 4] = -2 é abscissa de ponto de mínimo (1; -14)
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
-2 1 [pic 8]
3) Traçados de gráficos para as curvas y = f(x)
a) f(x) = 4x b) f(x) = x4 + 6x3 – 18x2 c) f(x) = x
1 + x2 x2 - 1
Problemas de Aplicação de Derivadas
- Problemas de retas tangentes
- Se f ( x) = 3 + 2 sen( x), determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no
ponto x = π/6.
- Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos
indicados.
a) f(x) = x² - 1 ; x = 1
b) f(x) = x(3x – 5 ); x = ½.
c) y = x² - 2x + 1 no ponto (-2,9).
- Problemas de velocidade e aceleração(taxas de variação)
1) Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por p(t) = t 2 - 6t, onde p(t) é medida em pés e t em segundos.
a) Determine a velocidade em um instante t = a qualquer.
b) Determine a velocidade da partícula em t = 0 e t = 4.
c) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo e negativo sobre r.
d) Em que instante a velocidade é nula?
2). Uma pedra atirada verticalmente para cima com velocidade de 24 m/s atinge uma altura de h = 24 t - 0,8 t2 metros em t segundos.
(a) Determine a velocidade e a aceleração da pedra no instante t.
(b) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(c) Qual a velocidade da pedra quando ela está a 55 m do solo na subida? E na descida?
(d) Quando a pedra atingirá o solo novamente?
(e) Faça o gráfico do movimento da pedra.
3)Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão
v(t) = [pic 9] ( t em segundos e v em metros por segundo). Encontre a sua aceleração no instante t = 8s.
- Outros Problemas de taxas de variação:
1)Uma torneira lança água em um tanque. O volume V (litros) de água no tanque, no instante t (minutos) é dado por V(t) = 3t3 + 2t. . Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante t = 4min?
2) Suponhamos que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será
P(x) = x2 + 4x + 3000 habitantes. Qual é a taxa de variação da população daqui a 3 meses?
3) Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por N(t) = 10t2 + 30t + 15000 , determine:
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