INGENIERIA MECÂNICA CÁLCULO ATPS III

FACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

ENGENHARIA MECÂNICA

ATPS DE CÁLCULO III

Claudio José Ferreira Ra: 3770758399

Claudio J. Martins Ra: 3786769970

Emanuel ferreira Ra: 4617899205

João Bosco Dias Ra: 4212773528

Marcio do Espírito Santos Ra: 3786769996

Ricardo Bellintani Lima Ra: 4251866500

CUIABÁ-MT

2013

FACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

ENGENHARIA MECÂNICA

ATPS DE CÁLCULO III

Apresentação do trabalho baseado na ATPS, proposto pelo Professor Mil na disciplina de Cálculo III, no 4º semestre, do curso de Engenharia Mecânica da Faculdade Anhanguera de Cuiabá.

Profº. Mil

CUIABÁ-MT

2013

Claudio José Ferreira Ra: 3770758399

Claudio J. Martins Ra: 3786769970

Emanuel ferreira Ra: 4617899205

João Bosco Dias Ra: 4212773528

Marcio do Espírito Santos Ra: 3786769996

Ricardo Bellintani Lima Ra: 4251866500

ATPS DE CÁLCULO III, ETAPAS 01 E 02

INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS

INTEGRAÇÃO POR PARTES E POR SUBSTITUIÇÃO.

Apresentação do trabalho baseado na ATPS, proposto pelo Professor Evaldo Pires, na disciplina de Física III,no 4º semestre, do curso de Engenharia Mecânica da Faculdade Anhanguera de Cuiabá.

Profº. Msc. Evaldo Pires

Cuiabá 02 de Outubro de2013.

BANCA EXAMINADORA

._______________________.

ProfessorMil

Etapa 1

Passo 1

Os primeiros problemas que apareceram na história relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.

Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas -

regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número

p.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um

desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria