Oscilações Amortecidas/Oscilações Forçadas E Ressonância

TÍTULO: Oscilações Amortecidas/Oscilações Forçadas e Ressonância

OBJETIVOS:

Oscilações amortecidas:

Estudar um sistema oscilante usando o Pêndulo de Pohl; Observar o amortecimento e encontrar a constante de amortecimento neste sistema.

Oscilações forçadas e ressonância:

Estudar um sistema oscilante sujeito a uma força externa periódica; Analisar as oscilações forçadas em um pêndulo de Pohl; Observar o fenômeno da ressonância nesse sistema.

INTRODUÇÃO:

Oscilações amortecidas: Estudou-se um sistema massa-mola teoricamente e, em um pêndulo de Pohl, o movimento harmônico amortecido. Considerou-se um sistema massa-mola onde atua sobre o corpo de massa m, além da força restauradora (-kx), uma segunda força de amortecimento (Fv). A força de amortecimento pode ser considerada como associada ao atrito e proporcional à velocidade do corpo.

Fv = -bv

Onde b é uma constante que depende da forma geométrica do corpo e das características do meio e v é a velocidade do corpo.

De acordo com a segunda lei de Newton:

Fr = ma

Fr = Fe + Fv

Logo, ma = - kx – bv

A solução dessa equação diferencial linear homogênea é do tipo eλt. Substituindo esta quantidade na equação, tem-se: λ = -γ , onde γ = e . Quando o movimento é subamortecido: e a solução é do tipo . Quando o movimento é sobreamortecido: e a solução é do tipo . Quando o movimento é criticamente amortecido: e a solução é do tipo .

O pêndulo de Pohl é constituído por uma chapa metálica cilíndrica articulada e sustentada em seu centro presa a uma mola helicoidal. A chapa oscila girando em torno do centro. Há um eletroímã que amortece o movimento, o amortecimento depende da corrente que atravessa o eletroímã. O sistema possui também um motor elétrico que através de alavancas aplica uma força oscilante no centro da chapa.

Foram estudadas oscilações fracamente amortecidas. O movimento de oscilação periódico no pêndulo de Pohl é angular. Por analogia, trocamos na equação diferencial a massa m pelo momento de inércia Icm, além disso, foi avaliada a posição angular θ(t) e não a posição x(t). A segunda lei de Newton para o sistema será:

Estudou-se o movimento subamortecido no pêndulo de Pohl, logo a solução da equação diferencial será: . O sistema oscila com freqüência angular , é a posição inicial em t=0, é a freqüência natural de oscilação (não afetada pelo amortecimento), γ = com b sendo a constante de amortecimento do sistema que depende da intensidade da corrente elétrica que atravessa o eletroímã. Para a situação de subamortecimento, pode-se usar a aproximação, assim:

Oscilações forçadas e ressonância:

O mesmo sistema agora esta sujeito também a uma força externa periódica F(t), que tem intensidade máxima F0 e atua sobre o corpo, influenciando seu movimento oscilante de acordo com sua freqüência angular de oscilação.

Agora a equação diferencial que descreve o movimento do corpo é:

Essa equação é do tipo equação diferencial linear não-homogênea. O movimento resultante será a superposição de dois movimentos: um devido ao oscilador já considerado anteriormente e outro causado pela força F. A solução é a soma de duas funções, xh, que corresponde a solução da equação homogênea, e xp é a solução particular cuja forma dependerá do tipo de função que faz com que a equação não seja homogênea. Essa solução particular deve ser do tipo: