Hemoterapia

Lista de Exercícios nº 1, derivação implícita.

Em cada uma das funções dadas implicitamente encontre y´:

a) b) c)

d) e) f) g)

h) i) j) l)

m) n) o)

p) q) r)

Determine uma equação da recta tangente ao gráfico da função f definida pela equação dada no ponto indicado.

Determine a equação da recta tangente a curva p) , no ponto de abcissa x=1.

Determine a derivada segunda, (d^2 y)/dx paras seguintes funções dadas implicitamente.

xy=1 b) x^3+y^3=28 c) 〖 x〗^2-xy+y^2=3 d) x^(1/3)+y^(1/3)=1

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DA HUÍLA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARÍA MECÃNICA

PLANO DE CLASSE

DISCIPLINA: Geometria Descritiva y Desenho Gráfico. ATIVIDADE:No.1

CARREIRA: Engenharía Mecãnica Ano: 10.

TEMAI: PROJEÇÕES DO PONTO, AS RETA E O PLANO.

Sistema de conhecimentos:

II.1.-Teoria das Projecções.

II.1.1.- Classificação. Importância do Ponto de vista.

II.1.2.- Sistema de dois e três planos de projecções. Abatimento.

II.2.- Projecções do Ponto.

II.2.1.- Projecções do ponto nos sistemas de dois e três planos de projecções a partir de suas coordenadas. Notação.

II.2.2.- Projecção do ponto nos distintos quadrantes.

II.2.3.- Projecções Axonométricas. Generalidades. Projecções Axonométricas do ponto.

Sistema de habilidades:

• Representar as projecções do ponto em diferentes sistemas de representação, conhecendo suas coordenadas ou sua localização espacial relativa aos planos de projecções ou outros entes geométricos.

• Identificar a situação espacial de um ponto, a partir da interpretação de suas projecções.

Objectives:

1. Alcançar uma clara compressão das características físico – projectivas do ponto, como ente geométrico primário do espaço, a partir da interpretação e representação em dois e três planos de projecções.

Livros didácticos:

- Marín Nager, A., J. Domenech Torres y R. Antón Socorro. Geometría Descriptiva. Edit. Félix Varela, La Habana 2006. 274p.

- Pérez Lazo de la Vega, M.C. Manual de Ejercicios propuestos. Dpto. Gráfica de Ingeniería, CUJAE, La Habana 2005.

Bibliografia complementar.

- Antón Socorro, Rafael y José Domenech Torres. Dibujo Básico. Edit. Pueblo y Educación, La Habana 1981. 246p.

DESENVOLVIMENTO:

II.1.-Teoria das Projecções.

• - Elementos das projecções.

O método que utiliza a Geometria Descritiva para representar objectos se denomina Método de Projecções. Em toda projecção sempre se encontram pressentem os seguintes elementos.

A figura 1 mostra os 5 elementos que intervêm em uma projecção: Pólo ou centro, raio lhe projectem, objecto, plano de projecções e projecção obtida sobre o plano. E embora se trata de uma ilustração típica, deve se ter em conta que não esta distribuição forçada ou única, pois a ordem pode trocar, como ocorre na câmara de filmagem, em que o plano se encontra entre o pólo e o objecto.

II.1.1.- Classificaçãodas projecções.

Dependendo da posição relativa entre o pólo e o plano, as projecções se classificam no Cónicas ou Paralelas.

Projecção central ou cónica Projecção paralela o cilíndrica

Proyección ortogonal

Projecção Axonométrica.

Frequentemente, ao realizar desenhos técnicos se apresenta a necessidade de ter uma representação mais visual, conjuntamente com a representação dos objectos no sistema de projecções ortogonais. Para leste objectivo se utiliza uma variante da projecção paralela e a denominada «projecção Axonométrica» (Axonometría significa medida por meio de eixos) que consiste na projecção sobre um plano (oblíqua ou ortogonal) de qualquer elemento geométrico referido a um sistema coordenado.

Disposição dos eixos na projecção Axonométrica ortogonal

Na tabela seguinte se ilustra a disposição que toma os eixos em cada uma das axonometrías mencionadas, às que se associa um correspondente coeficiente de distorção em cada eixo. Na prática, ao obter os desenhos axonométricos se utilizam com frequência e não por acaso, os coeficientes reduzidos e as chamadas projecções normalizadas da Axonometría. Estas projecções dão uma representação bastante visual e são de uma obtenção simples

Trata-se também de um tipo do Axonometría de uso frequente, que indistintamente também poderemos empregar em nosso curso. Neste caso a distorção queafecta ao eixo Y é igual a 0.5, e portanto as medidas nadirecção Y devem ser reduzidas na metade.

TABELA DE PROJEÇÕES AXONOMÉTRICAS NORMALIZADAS.

Sistema de dois planos de projecções.

O sistema de dois planos de projecções é um convencionalismo que permite considerar o espaço divido em 4 sectores ou quadrantes, sendo possível obter a representação gráfica ortogonal dos elementos geométricos sobre dois planos, e de fecho a combinação destes permite a localização sobre os eixos coordenados X,Y,Z de todo ponto representado. A linha de intercessão entre estes dois planos se chama «eixo 0-X» ou «linha de terra». Consequência deste convencionalismo é o de «ABATIMENTO», que não é mais que a transformação que sofre o sistema de dois planos ao fazer girar uno de seus planos ao redor do eixo 0-X, até obter a coincidência de ambos os planos, obtendo-se então a representação no plano do papel, em duas projecções, dos elementos geométricos do espaço.

.

O processo inverso é a interpretação do Abatimento, e permite imaginar a situação real do ponto no espaço. É leste o processo mental no que precisa ser treinado o engenheiro para poder efectuar a interpretação dos planos técnicos e constitui a tarefa inversa da Geometria Descritiva.

Construção das projecções de um ponto a partir de suas coordenadas.

Para obter as projecções do ponto é possível estabelecer um sistema de coordenadas retangulares no qual o eixo OX será o eixo das X.

- O eixo Z está unido ao plano F; será positivo (+Z) para a parte superior do plano e negativo (- Z) para a parte inferior do plano F.

- O eixo E está unido ao plano H; será positivo (+Y) na parte anterior do plano H e negativo na parte posterior do plano H.

-Sempre se considera positiva a coordenada X no sistema de dois planos de projecções.

Exemplo: Obter o abatimento e a representação visual do ponto A cujas coordenadas são:

X = 20; Y = 15 e Z = 25, ou seja, A = (20, 15, 25)

Representação Axonométrica do Ponto.

Em consequência, se conhecermos as coordenadas X, Y e Z de um ponto é possível construir sua representação tridimensional em qualquer das axonometrías mais usuais.

Por exemplo, dado o ponto A(x, y, z) é possível construir sua representação isométrica seguindo os seguintes passos:

1. Transportar a coordenada «x» sobre o eixo «X».

2. Traçar nesse ponto uma linha de enlace paralela ao eixo Y, transportando sobre ela a coordenada «y», com o qual localizamos a projecção «a» sobre o plano XY ou plano horizontal.

3. Levantar na«a» uma vertical, paralela ao eixo «Z» e sobre ela transportar a coordenada «z» do ponto A.

Representações típicas do ponto.

No seguinte desenho se mostram as posições típicas que pode ocupar o ponto, dado por suas projecções.

Na tabela que segue se oferece a resposta.

Ponto Situação espacial Relacione z/y

A 1er quadrante Z>Y

B Plano frontal superior Y=0

C 2º quadrante Z>Y

D 2º quadrante Y>Z

E 2º quadrante (na plana bissectriz) Z=Y

F Plano horizontal posterior Z=0

G 3er quadrante Y>Z

H Plano frontal inferior Y=0

I 4º quadrante Z>Y

J 4º quadrante Y>Z

K 4º quadrante (na plana bissectriz) Z=Y

L Plano horizontal anterior Z=0

M Eixo 0-X ou linha de terra Z=Y=0

Projecções do ponto no sistema de três planos

Em muitos casos resulta necessário obter uma representação de certos objectos que, dada seus características, requerem do menos 3 projecções ortogonais, correntemente denominadas «vistas».

Dentro do contexto da Geometria Descritiva a solução a esta problemática se obtém incorporando um terceiro plano de projecções, ortogonal aos dois anteriores, de maneira que o sistema original se transforma em um sistema de três planos de projecções, ficando agora o espaço dividido convencionalmente em 8 octantes.

Na ordem prática, a representação de um ponto em qualquer octante só tine interesse como exercício para o treinamento da visão espacial, sendo só justificável no marco da técnica a representação nos 1º octantes e 3º por ser estes os únicos nos que não se produz solapamiento de projecções logo depois de efectuar-se ele "abatimento" ou superposição dos 3 planos do sistema.

No que respeita a nossa disciplina e de acordo com as normas de representação vigentes, empregaremos fundamentalmente a representação no 1er octante, salvo que se trate de exercícios básicos de treinamento antes mencionados. As seguintes ilustrações dão uma ideia geral do procedimento a seguir para obter as 3 projecções de um ponto situado no primeiro octante.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

A) Sistema de dois planos.

Exercício R1.1.-Construa a representação visual e em abatimento dos pontos: A=(20,20,30), B=(35,-25,35), C=(50,20,-35) y D=(70,-20,-30)

SOLUCIÓN

Observe que:

• A coordenada X se associa à linha de enlace, sobre a que serão se localizadas as projeções frontal e horizontal do ponto.

• A coordenada Y se associa à projecção horizontal e indica a distância do ponto ao plano frontal, também chamada afastamento.

• A coordenada Z se associa à projecção frontal e indica a distância do ponto ao plano horizontal, também chamada cota.

• Isto é válido para qualquer ponto em qualquer situação do espaço em que se encontre

Exercício R1.1.- Identifique a situação espacial dos pontos representados.

Nota:

Recomenda-se ao estudante que reproduza em representação visual as soluções destes exercícios, o que lhe permitirá ganhar em compreensão e exercitará paralelamente a habilidade de construir representações tridimensionais.

B) Sistema de três planos.

Exercício R1.3.- Determine as 3 projecções do ponto B=(-10,20,10). Identifique o octante a que pertenece.

Solución

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EP1.1. Construa a representação visual e em abatimento dos pontos:

A=(50, 25, 15); B= (40, 0, 20); C=(25,25,-25) yD=(10, -20, -30)

EP1.2. Represente por suas projecções os seguintes pontos:

Puntos X Y Z

A 70 -10 23

B 60 0 -20

C 52 -18 -25

D 40 20 0

E 28 15 15

F 15 25 -17

EP1.3. Identifique a situação espacial dos seguintes pontos:

Pontos Situaçãoespacial

A

B

C

D

E

F

EP1.4. Represente as projecções dos seguintes pontos no sistema de 3 planos de projecções.

a) Construa as projecções Axonométricas dos pontos representados.

Ponto X Y Z

A 52 18 5

B 17 25 10

C 35 8 25

D 64 35 20