A Apostila Sobre Cálculo
Por: Rodrigo Nunes • 3/8/2021 • Relatório de pesquisa • 31.056 Palavras (125 Páginas) • 115 Visualizações
[pic 1][pic 2]
C´alculo 2
Lista de Exerc´ıcios – M´odulo 1 – Lista 1 – Solu¸c˜ao
[pic 3]
- Nem tudo o que sobe desce. De fato, podemos imaginar que uma pedra seja lan¸cada de um estilingue com uma velocidade t˜ao grande que acabe escapando da atrac˜ao gravitacional da Terra. Para ver que isso pode ocorrer e para se ter uma id´eia dessa velocidade, denote por v0 a velocidade inicial, por m a massa e por x(t) a distˆancia da pedra at´e o centro da terra no instante t. Desconsiderando a resistˆencia do ar, o corpo est´a sujeito apenas a` for¸ca gravitacional F = m M G/x2, em que G ´e constante, M ´e a massa da Terra e R seu raio. Pela segunda lei de Newton, temos que[pic 4]
( ) mxjj(t) = mMG.[pic 5]
x(t)2
- Cancelando a massa m e multiplicando a equa¸c˜ao ( ) por xj(t), obtemos que xj(t) xjj(t) = M Gxj(t)/x(t)2. Integre ambos os lados dessa equa¸c˜ao e use as condi¸c˜oes iniciais x(0) = R e xj(0) = v0 para obter uma equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem para x(t).[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
[pic 10]
- Mostre que, se v0
≥ ve
= 2MG, ent˜ao a velocidade xj(t) ´e R
sempre positiva. A constante ve ´e denominada a velocidade de[pic 11][pic 12]
escape da Terra.
- Quando v0 = ve, mostre que x(t) satisfaz uma equa¸c˜ao diferen- cial separ´avel. Resolva essa equa¸c˜ao e determine x(t) usando que a posi¸c˜ao inicial ´e x(0) = R.
[pic 13]
Solu¸c˜ao
- Com a substitui¸c˜ao v = xj(t) obtemos dv = xjj(t)dt e
∫ xj(t) xjj
(t) dt = ∫
v dv =
v2
+ A =[pic 14]
2
xj(t)2
+ A[pic 15]
2
Com a substitui¸c˜ao x = x(t) obtemos dx = xj(t)dt e
∫ −M Gxj(t) dt = M G ∫ −1 dx = M G + B = M G + B[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
Assim
xj(t)2 = 2MG + C
x(t)[pic 21]
onde C = 2(B − A). Usando que x(0) = R e xj(0) = v0, temos que v2 = 2MG/R + C, de modo que C = v2 − 2MG/R. Segue que x(t) satisfaz a equa¸c˜ao diferencial de[pic 22][pic 23]
primeira ordem[pic 24][pic 25][pic 26]
xj(t)2 = 2MG
+ v2 − 2MG
- Se v0 ≥ ve, ent˜ao v2 − 2MG/R ≥ 0. Usando o item anterior, segue que[pic 27]
xj(t)2 = 2MG + v2 − 2MG > 0[pic 28][pic 29][pic 30]
uma vez que x(t) > 0. Como xj(t)2 nunca se anula, segue que xj(t) n˜ao se anula e, portanto, n˜ao muda de sinal. Uma vez que xj(0) = v0 > 0, segue que xj(t) ´e sempre positiva.
- Se v0 = ve, entao x(t) satisfaz a equa¸c˜ao
xj(t)2 = 2MG[pic 31]
x(t)
que ´e separ´avel, de modo que podemos aplicar os passos:
Equil´ıbrios: Procurando solu¸c˜oes constantes x(t) = xeq, substituindo na EDO ob- temos
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