A CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE FUNÇÕES INVERSAS COM AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

[pic 1]

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

NÚCLEO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PROFESSORA: GISELA PINTO

OFICINA:

CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE FUNÇÕES INVERSAS COM AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Adriano Zarlam Peixoto de Oliveira

 2015195015

Agatha Cristina de Almeida Santos

 2015195031

Luan Fonseca Cirino

 2015195244

Marianna Del’ Secchi Sypnievski

2015195279

Oficina proposta como exigência para aquisição de horas de atividade acadêmica para o NEPE Softwares Educacionais, sob a supervisão da Professora Gisela Pinto.

Seropédica

2017-1

Introdução

Esta oficina permite um fácil entendimento das funcionalidades do GeoGebra como ferramenta de ensino. Nas páginas subsequentes, esclareceremos o tema: “Função Inversa”, elaborando assim estruturas matemáticas, de forma didática, para o entendimento de sua construção.

1. Funções inversas

Seja f uma função dada por f:A→B, podemos definir a função inversa de f como a função que inverte os elementos de f, ou seja, uma função definida por f:B→A, denotada por f-1. Considerando que f seja uma transformação, o objetivo da função inversa é desfazer tal transformação de f. Lembrando que para uma função admitir inversa, ela precisa ser bijetora (o conceito de bijeção deverá ser trabalhado no desenvolvimento da oficina).

O gráfico de uma função inversa possui simetria em relação à reta y=x, então uma maneira simples de se encontrar a f-1, é fazendo a reflexão de f em torno dessa reta, o resultado obtido será o gráfico da inversa de f. Para encontrar a f-1 algebricamente basta isolar o x na função e em seguida trocar x por y.

Exemplo: y = 3x+5

1)Isolando o x:   3x = y – 5   ↔    x = [pic 2]

2)Trocando x por y:     y = [pic 3]

A seguir veremos outros métodos de se obter a inversa de uma função.

2. Construção de funções inversas no GeoGebra.

Para tal construção, escolhemos a função y= ex como exemplo, e usaremos algumas ferramentas do GeoGebra para encontrar a sua inversa. Abra a tela do GeoGebra e insira no campo de entrada a função “y=e^x”, como na imagem a seguir. Em seguida, faça o mesmo para a reta “y=x”.

[pic 4]

Figura 1: Campo de entrada

[pic 5]

Figura 2 – Funções y=ex e y=x no GeoGebra.

Em seguida, escolha um ponto A qualquer na função y=ex e trace uma reta perpendicular à y=x passando por esse ponto A. Selecione o comando Reflexão em Relação à uma Reta e faça a reflexão de A em relação à reta y=x, gerando o ponto A’. Nossa construção está praticamente pronta. Habilite o rastro de A’, e anime o ponto A.

[pic 6]

Figura 3 – Construção da f-1 de y=ex no GeoGebra.

O rastro deixado pelo ponto A’ é exatamente o gráfico da função inversa de y=ex. Verificando algebricamente, chegamos a y=ln(x), confirmando nossa hipótese. Isso acontece, pois construímos A’ como reflexão de A em torno de y=x, ou seja, os pontos A e A’ equidistam de tal reta, e dessa forma, ao habitar o rastro de A’ enquanto A se move, foram gerados todos os possíveis pontos que também satisfazem essa construção, gerando assim, a inversa de f.

3. Análise do grafico das funções inversas no Geogebra

Seguindo com o exemplo de y=ex ,vamos agora traçar retas perpendinculares aos eixos coordenados, da seguinte forma: no ponto A, trace uma reta perpendicular ao eixo x e outra ao eixo y, em seguida repita esse processo para o ponto A’. [pic 7]

Figura 4 – Retas perpendiculares passando pelos pontos A e A’.

Se movermos o ponto A, todas as retas perpendiculares se movem e podemos observar um polígono regular que é o quadrado, com diferentes lados para cada valor da função. Para ficar melhor a visualização, procure, no menu de botões, a figura [pic 8], clique e escolha a opção “Interseção de Dois Objetos”. Agora, clique na reta k e depois na reta i. Faça o mesmo para as retas h e j. Fazendo isso estamos achando os pontos de interção entre essas retas e esses pontos pertencem à y=x. Bom, estamos quase finalizando nosso polígono regular; antes disso,  vá até o menu de botões, clique em [pic 9] e após isso clique na opção “Polígono Regular”. Clique nos pontos B e A’. Aparecerá uma janela como essa abaixo que pede para entrarmos com o número de lados do polígono.