A NORMATIZAÇÃO DE TRABALHO

Capítulo 01

O Conceito de Função e Funções Polinomiais do 1º e 2º Graus

1. – Definição de Função:

Cotidianamente, é comum relacionarmos duas grandezas, dois conjuntos de elementos quaisquer através de tabelas, expressões matemáticas, gráficos, diagrama de flechas entre outras, vamos, agora, estudar um tipo especial de relação.

Exemplo 1:

O salário de um vendedor é composto por um valor inicial mais comissão. Assim, se ele possui um salário, cuja parcela fixa é de R$ 1.000,00, mais 2%  de comissão sobre o que vendeu, o seu salário será calculado através da expressão matemática:  y = 1.000 + 0,02.x

Em que y é o salário, e x é o valor total das vendas feitas por esse vendedor.

Observe a tabela e o diagrama de flechas abaixo com alguns valores que satisfazem essa relação.[pic 1]

[pic 2]

No exemplo acima, vimos a relação entre vendas e salário. Poderíamos citar milhares de outras relações, as quais, necessariamente, não seriam apresentadas na forma de tabela ou diagrama de flechas. Em muitos casos, estes tipos de representações não são muito eficientes, uma vez que um dos conjuntos pode ser infinito, o que dificultaria a listagem dos elementos. Nesse caso, o gráfico pode ser uma boa maneira de apresentar a relação.

Exemplo 2

Durante uma viagem de São Paulo (km 0) à Ribeirão Preto (km 300), iniciada às 10:00 h de um dia, podemos associar cada instante à posição (km) em que estamos.

[pic 3][pic 4]

Quando relacionamos o tempo com outras grandezas (quilometragem percorrida, m3, número de pacientes e outros), é importante observar que:

1º) em um instante de tempo alguma coisa sempre acontecerá;

2º) em um instante de tempo não existem  dois acontecimentos.

        Se voltarmos ao exemplo anterior, verificaremos que em todo instante há uma posição relacionada (em qualquer instante estaremos em uma posição) e, essa posição relacionada deve ser única (é impossível estar em dois lugares ao mesmo tempo).

        Essa relação do tempo com outras grandezas motivou a definição de um novo tipo especial de relação, que denominaremos função, em que as condições serão sempre satisfeitas e em um instante de tempo alguma coisa sempre acontecerá e não existem dois acontecimentos ao mesmo tempo.

Formalizando:

Definição: Sejam dois conjuntos A e B não vazios, dizemos que uma relação de A em B é uma função, se e somente se, para cada elemento de A existe correspondência com um único elemento de B.Desta forma em todo instante, sempre acontecerá alguma coisa, e esta será única.

1. – Reconhecimento de uma Função

        A partir da definição de funções, vamos verificar quando uma relação é uma função.

Exemplo 01:

A relação R = {(x,y) sendo x ∈ A e y ∈ B / 2x + y = 5}, sendo A = {1, 2, 3, 4} e  B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} é uma função?

[pic 5]

Exemplo 02:

A relação R = {(x,y) sendo x ∈ A e y ∈ B / 2x + y = 5}, sendo A = {1, 2, 3, 4} e  B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} é uma função?

[pic 6]

Exemplo 03:

A relação R = {(x,y) sendo x ∈ A e y ∈ B / x – y2 = 0}, sendo A = {1, 4, 9} e       B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} é uma função?

[pic 7]

Também através de gráficos, podemos verificar se uma relação é ou não uma função. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Considere o gráfico a seguir, de uma relação de A = {1, 2, 3} em   B = {4, 5, 6, 7}[pic 8]

Para uma outra interpretação, representaremos o

gráfico ao lado usando o diagrama de flechas.[pic 9]

O gráfico da relação acima não é uma função, pois o elemento 1 possui duas correspondências 4 e 7.

Exemplo 2: Considere o gráfico da relação R1 de A em B.

[pic 10]

O gráfico ao lado também não é uma função

de A em B, pois existem valores do conjunto

A que possuem mais de uma correspondência

no conjunto B. Observe:

[pic 11]

                                                        Existem outros valores, mas escolhemos como exemplo o valor de x0 para mostrar que esse possui mais de uma correspondência.

Exemplo 3: Considere o gráfico da relação R2 de A em B.

[pic 12][pic 13]

O gráfico acima é uma função, pois todos os valores do conjunto A possuem uma única correspondência em B.

Observe os valores exemplos de x0, x1 e x2, e perceba como cada um deles possui uma única correspondência. Logo, a relação R2 é uma função de A    em B.

Exemplo 4: Considere o gráfico da relação R3 de A em B.[pic 14]

[pic 15]

O gráfico da relação R3 não é uma função, pois nem todo valor do conjunto A possui uma correspondência em B.

Veja como o elemento x0 não possui correspondência, assim podemos concluir que R3 não é uma função.

1.3 – Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

Dada uma função A em B:

O conjunto A é chamado de domínio da função, que denotamos por D(f), ou simplesmente D.

O conjunto B é chamado de contradomínio da função, que denotamos por CD(f), ou simplesmente CD.