APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO DOS VOLUMES DOS SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

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ALEXANDRO OLM LEITES

FERNANDA TRASSANTE DA COSTA

EDSON LUIS AIRES DA SILVA

MATEUS SOUSA DIAS

APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO DOS VOLUMES DOS SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Porto Alegre

2017

INTRODUÇÃO

Os sólidos de revolução estão presentes em nosso dia a dia em inúmeros e diversos objetos, e em algumas aplicações das áreas de engenharia é necessário um certo conhecimento de cálculos para a determinação de volumes e áreas.

Neste trabalho utilizamos as definições de cada tópico das etapas dos cálculos de volumes, dentre eles estão a distribuição continua de massa, momento de inércia, trabalho, pressão, probabilidades, entre outros, e junto as suas aplicações com exemplos de como chegar a uma integral para resolver as questões.

Então vamos compreender como se chega a estas soluções com os devidos cálculos dos volumes dos sólidos de revolução, para poder chegar ao resultado dos problemas pela colocação correta destas técnicas.

VOLUME – método: disco, arruela e fatiamento

Na verdade, dentro do cálculo de volumes por integral, sempre fatiaremos o sólido formado, gerando assim, de acordo com o sólido, discos (caso o sólido não seja vazado) e arruelas (quando o sólido for vazado). Para encontrarmos o volume de um sólido de revolução temos o PI que multiplica a integral da função ao quadrado. Para alguns outros casos específicos temos algumas alterações na fórmula que fazem abranger melhor ainda o volume que deve ser calculado.

Exemplo: um engenheiro precisa colocar um espaço, para que se torne um reservatório de água em uma propriedade rural do estado de Santa Catarina. O reservatório servirá para o acúmulo de água da chuva e, através de um buraco na parte inferior, a água acumulada passará por um sistema de purificação para ser utilizada na propriedade. O engenheiro desafiando-se resolveu criar o reservatório através da evolução de uma função definida. A função definida pelo engenheiro foi y= x², sendo que o reservatório terá quatro metros de altura, conforme o gráfico abaixo:

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COMPRIMENTO DA CURVA

No comprimento de curvas teremos a integral da raiz de um somada a função derivada, elevada ao quadrado, dentro do intervalo de tempo que deve ser calculado.

Um engenheiro civil e um topógrafo, na construção de uma estrada, locam dois pontos distantes um do outro, próximos a uma leve curva, nessa nova rodovia que estão sendo construída no pais. Eles precisam saber exatamente a metragem linear de Guard-Rail que será utilizado nessa curva.

A curva obedece a função y=x3 e os dois profissionais procuram a metragem linear do ponto 0 ao ponto 1, distantes entre si 1km, conforme gráfico abaixo.

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ÁREAS DE SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO

Ela consiste basicamente na rotação de um arco em torno de um eixo em torno de um eixo (x ou y). Esse conceito de integral é muito utilizado para a determinação de centroides e o momento de inércia de arcos e superfícies de revolução. Para resolver, aplicamos a integral definida, no intervalo especificado, do comprimento do arco, e multiplicamos por 2π. O comprimento do arco é dado pela função que multiplica a raiz de um somando a distância em y dividido pela distância em x.

Um grupo de engenheiros está construindo uma antena parabólica cujo formato será formado pela rotação da curva y  ax2 em torno do eixo y. Se a antena tiver 10 pés de diâmetro e uma profundidade máxima de 2 pés, encontre o valor de a e a área de superfície da antena.

Desta forma, tiramos que , isto é , então  . Logo,  [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Como devemos rotacionar em torno do eixo y, obtemos  onde  Assim, . Portanto, a área da superfície é:[pic 18][pic 19][pic 20]

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TRABALHO

Trabalho é a medida de energia que é transferida para o corpo, em razão da aplicação de uma força ao longo de um deslocamento. O trabalho é resolvido através de uma integral de linha simples, onde se integra a força (F) em função do deslocamento (r). O deslocamento dentro da integral seria os pontos para defini-la. O trabalho pode ser negativo ou positivo dependendo do sentido da força, e sempre será um número real.

Um engenheiro precisa saber o trabalho realizado ao mover um bloco de concreto que está localizado a x metros da sua origem, sabendo que irá move-lo de x=1 para x=3 e que tem uma força de  Newtons agindo sobre o corpo. E para isso ele teve que utilizar o método de uma integral para resolver o seu problema. [pic 26]

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VALOR MÉDIO

Na aplicação para se encontrar o valor médio de uma função, sempre teremos a integral da função no intervalo no qual se busca a média, multiplicado por um sobre o intervalo (final menos inicial).

Podemos citar um exemplo de um engenheiro que precisa saber qual o melhor período e local para construção de um prédio com mais qualidade e menos tempo perdido para que seus gastos sejam menores e para isso ele deverá saber também as condições climáticas do local e resolveu desenvolver uma breve pesquisa sobre as temperas médias dos locais onde planejava construir. Para isso ele estimou que t em horas depois da meia noite em um período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por  0 ≤ t ≤ 24 graus Celsius para encontrar a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde. Para fazer o calculo ele vai utilizar uma integral:[pic 31]

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PROBABILIDADE

Probabilidade é a chance real de ocorrer um determinado evento, isto é, a chance de ocorrer uma medida em um determinado intervalo. Por exemplo, a frequência relativa deste intervalo, observada a partir de uma amostra de medidas, é a aproximação da probabilidade. E a distribuição de frequências é a aproximação da distribuição de probabilidades.

Fenômenos como tempo de espera ou tempo de falha de um equipamento são comumente modelados por funções densidade de probabilidade. E para encontrar a forma exata de uma função desse tipo.