APOSTILA DE CÁLCULO

FACULDADE MATER DEI

PROF.MSC. MÁRCIO ROGÉRIO KOTH

CÁLCULO III

1 – INTEGRAIS TRIPLAS.

1.1 – Integrais triplas em coordenadas cartesianas.

A extensão da integral dupla à integral tripla é análoga à extensão da integral simples à integral dupla. Assim, as integrais triplas aplicadas sobre sólidos no espaço xyz, são definidas segundo uma analogia com a definição de integrais duplas aplicadas em regiões de plano xy.

Dada uma região sólida S no espaço tridimensional, como um paralelepípedo, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um elipsoide, e assim por diante, e dada uma função f de três variáveis, definida em cada ponto (x, y, z) em S, definimos a integral tripla (se existir) como sendo:

[pic 1]

Exercícios.

1. Calcule o volume das figuras através da integral tripla:

[pic 2]

1. Calcule as integrais triplas e desenhe no plano cartesiano.

[pic 3]

1. Encontre o centro de gravidade de um cubo com 3 cm de lado.
2. Encontre o centro de gravidade de um paralelepípedo que tem 3 cm de comprimento, 2 cm de largura e 4 cm de altura.
3. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado inferiormente pelo plano xy, acima pelo plano z = y e lateralmente pelo cilindro y² = x e pelo plano x = 1. (Faça um esboço da figura).

1.2 – A integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas.

        Se uma região S em R₃ tem um eixo de simetria, as integrais triplas em S são mais fáceis de se calcularem se usarmos coordenadas cilíndricas. Se existe simetria em relação a um ponto, muitas vezes é conveniente escolhermos pontos como a origem, e usarmos coordenadas esféricas.

Para definirmos a integral tripla em coordenadas cilíndricas construímos uma partição da região S traçando planos através do eixo z, perpendiculares ao eixo z e cilindros retos tendo o eixo z, como eixo. Os elementos da partição construída encontram-se totalmente em S. Chamamos esta partição de uma partição cilíndrica. A medida de comprimento da “maior diagonal” de qualquer uma das sub-regiões é a norma da partição.

1. Encontre o volume do sólido limitado pelo cilindro x² + y² = 4 e altura z = 4.

1. Expresse a integral [pic 4] como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.

1. Calcule o volume do sólido S limitado pelo paraboloide z = 1 – (x² + y²) e o plano z = 0.

1. Determine através de integral tripla, o volume de um cilindro com raio da base 5 cm a altura 3 cm.

1. Um sólido homogêneo na forma de um cilindro circular reto tem raio de 2 m e altura de 4 m. Encontre o centro de gravidade.

1. Determine o centro de gravidade de um cilindro circular reto cuja altura é de 3 cm e cujo raio é de 2 cm.

1. Encontre a massa de um hemisfério sólido de raio a m se a densidade de volume em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo do sólido.

1. Encontre o centro de massa do sólido do exercício anterior.

1. Determine através da integral tripla em coordenadas esféricas, o volume de uma esfera cujo raio mede 2 cm.

1. Um sólido homogêneo é limitado superiormente pela esfera ρ = a e inferiormente pelo cone φ = α onde [pic 5] Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z.

2 – CÁLCULO VETORIAL.

2.1 Campos vetoriais.

Definição: Seja D um conjunto em R² (uma região plana). Um campo vetorial sobre R² é uma função F que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F(x, y).

Como [pic 6](x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes M e N, como segue:

[pic 7](x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j = <M(x, y), N(x, y)>, ou, simplificando, [pic 8] = Mi + Nj.

        Analogamente a um campo escalar, que determina um escalar para cada ponto em uma região tridimensional S, um campo vetorial associa um vetor:

[pic 9] para cada ponto (x, y, z) em S. Como o ponto (x, y, z) desloca-se sobre S, o vetor correspondente [pic 10]pode variar, tanto em módulo quanto em direção. Por exemplo, se um fluido move-se através de uma região tridimensional S, o vetor [pic 11]pode representar a velocidade de uma partícula do fluido no ponto (x, y, z). No que se segue, habitualmente supomos que as funções componentes escalares M, N e P do campo vertical [pic 12] são continuamente diferenciáveis.

Exercícios.

Represente graficamente os campos vetoriais.

1. F(x, y) = (x + y)i + (y – x)j;
2. F(x, y) = (2xy)i + (x² - y)j;
3. F(x, y) = (3x + 2y)i + (2x – y)j;
4. F(x, y) = i + 2j;
5. F(x, y) = xi;
6. F(x, y) = yi – xj.

2.2 Obtenção de uma função a partir de seu gradiente.

Consideremos o problema de como obter uma função, dado o seu gradiente, isto é, dado [pic 13] e desejamos achar f(x, y). A condição para que a função dada seja um gradiente é satisfazer a igualdade: [pic 14]

1. Dado F(x, y), determine f(x, y).

1. [pic 15]
2. [pic 16]
3. [pic 17]
4. [pic 18]
5. [pic 19]
6. [pic 20]
7. [pic 21]
8. [pic 22].

2.3 Integrais de linha.

        Seja C uma curva num círculo aberto B de R², cuja equação vetorial é R(t) = f(t)i + g(t)j, onde f’ e g’ são contínuas em [a, b]. Além disso, considere um campo de forças em B definido por F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j onde M e N são contínuas em B. Então, se W é a medida do trabalho realizado por F ao mover um objeto ao longo de C de (f(a), g(a)) a (f(b), g(b)),

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