AS CRÔNICAS: ELIPSES, HIPERBOLES E PARÁBOLAS

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FAINOR – FACULDADE INDEPENDENTE DO NORDESTE

 CLYNTON KELWIN SOUSA OLIVEIRA CAJADO DOS SANTOS

        

CÔNICAS: ELIPSES, HIPERBOLES E PARÁBOLAS  

                             

PROFESSOR: ANTONIO PACÍFICO NETO

VITÓRIA DA CONQUISTA

JUNHO de 2021

1. INTRODUÇÃO

        A Geometria Analítica é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. As Cônicas são figuras geométricas formadas pela interseção de um plano com um cone duplo de revolução. São elas: elipses, parábolas e hipérboles. Um solido de revolução é obtido a partir da rotação de uma figura geométrica sobre um eixo de rotação. Pode-se também conceituar cônicas como uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice, chamado de plano secante.

        Caso o plano secante seja paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola, como vemos na Figura 1.

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Figura 1. Formação da Parábola.

        Caso o plano secante não seja paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse, como vemos na Figura 2.

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Figura 2. Formação da Elipse.

        Caso o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas de cone, a cônica é uma Hipérbole, como vemos a Figura 3.

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Figura 3. Formação da Hipérbole.

        Para uma melhor interpretação e análise da formação das cônicas utilizando uma atividade do GeoGebra que mostra de forma dinâmica a movimentação do plano em relação ao cone como vemos na Figura 4 e pode ser acessado pelo link <https://www.geogebra.org/m/g3y7bq68 >.

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Figura 4. Atividade dinâmica do GeoGebra.

1. DESENVOLVIMENTO

1.   ESTUDO DAS CÔNICAS COMO CURVAS PLANAS

1. Parábola: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distância de P a um ponto fixo F, chamado foco da parábola, é igual a distância de P a uma reta fixa D chamada diretriz da parábola. Afirmamos, como visto na Figura 4, que é igual a .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

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Figura 4. Representação da Parábola e elementos associados.

1. Elipse: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que é constante a soma de   das distancias e , respectivamente, de P a dois pontos fixos  e , chamados focos da elipse. Assim  = constante como observamos na Figura 5.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

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Figura 5. Representação da Elipse e seus elementos associados.

1. Hipérbole: Conjunto de todos os pontos P do plano tais que é constante o módulo da diferença  das distancias , respectivamente, de P a dois pontos fixos  e , chamados focos da hipérbole. Assim   como podemos observar na Figura 6.[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

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Figura 6. Representação da Hipérbole e dos seus elementos associados.

1.  EQUAÇÕES CANÔNICAS DAS CÔNICAS

        Para determinar de maneira mais fácil as equações canônicas atribuímos para a parábola um sistema tal que o foco esteja no eixo x e a origem equidistantes do foco e da diretriz. Atribuímos para a elipse e a hipérbole, um sistema de coordenadas tal que os focos estejam no eixo x e equidistantes da origem.

1. Parábola P: Determinada pelo seu foco F = (p, 0) e pela sua diretriz , tem sua equação reduzida . Para a parábola, temos os seguintes elementos:[pic 24][pic 25]

• Diretriz:  [pic 26]
• Vértice: [pic 27]
• Foco [pic 28]

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Figura 7. Parábola com o foco no eixo x.

1. Elipse : Determinada por seus focos  e , onde  e pela constante 2a > 2c, tem a equação reduzida  , com . Para a elipse, temos os seguintes elementos:[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

• Centro [pic 36]
• Vértices x: e [pic 37][pic 38]
• Vértices y:  e [pic 39][pic 40]
• Focos:  e [pic 41][pic 42]
• Eixo maior:  [pic 43]
• Eixo menos: [pic 44]
• Excentricidade: [pic 45]

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Figura 8. Elipse com os focos no eixo x e equidistantes.

1. Hipérbole H: Determinada por seus focos  e , e pela constante 2a < 2c, tem a equação reduzida   , com . Para a Hipérbole, temos os seguintes elementos:[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

• Centro [pic 51]
• Vértices:  e [pic 52][pic 53]
• Focos:  e [pic 54][pic 55]
• Assíntotas:  e [pic 56][pic 57]
• Excentricidade: [pic 58]

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Figura 9. Hipérbole com os focos no eixo x e equidistantes.

1.  EQUAÇÕES COM CENTROS GENÉRICOS (h, k)

        Anteriormente analisamos as cônicas com os focos no eixo x e, centro ou vértice em (0,0). Para um centro genérico (h, k), qualquer do plano e os focos estão na reta  paralela ao eixo x, ou na reta   paralelas ao eixo y. Abaixo podemos ver essas equações para cada cônica.[pic 60][pic 61]

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