HIPÉRBOLE

HIPÉRBOLE

Pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante. Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2ª (0 < 2ª < 2c).

Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2 → são os focos da hipérbole

O → é o centro da hipérbole

2c → distância focal

2ª → medida do eixo real ou transverso

2b → medida do eixo imaginário

c/a → excentricidade

Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2

Equação reduzida da hipérbole:

1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).

Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:

2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c).

Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:

Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).

Solução: Temos que

2ª = 6 → a = 3

F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos:

c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4

Assim, a equação reduzida será dada por:

Exemplo 2. Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 12.

Solução: Temos que

F2(0, 10) → c = 10

2b = 12 → b = 6

Utilizando a relação notável, obtemos:

102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 8.

Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:

Exemplo 3. Determine a distância focal da hipérbole com equação