ATPS

FACULDADE ANHANGUERA DE JUNDIAÍ

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Atividades Práticas Supervisionadas

Equações Diferenciais

Elias Joaquim dos Santos - RA:3730728765

Jonatas William Santos – RA: 3727668183

Helton de Souza – RA: 3776771504

Lucas Augusto Torres – RA: 4200053625

Everton Amaral da Silva – RA: 4423853710

Hugo dos Santos – RA: 4828921002

Elivelton Fabricio Rosa – RA: 3708606878

Carlos Roberto S. Junior RA 3724700080

Jundiaí 16 de Setembro de 2013

Sumário

INTRODUÇÃO 3

Etapa 1 3

1.1 Primeiro Passo 3

1.2 Segundo Passo 5

1.3 Terceiro Passo 7

1.4 Quarto Passo 8

ETAPA 2 9

2.1 Primeiro Passo 9

2.1.1. Integração por Partes 9

2.1.2 Integração por substituição 9

2.2 Segundo Passo 9

2.3 Terceiro Passo 10

2.4 Quarto Passo 11

Etapa 3 11

Conclusão 11

BIBLIOGRAFIA 12

TEMA 2 HISTÓRICO 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 5 CIRCUITOS ELÉTRICOS

5.1Circuitos Elétricos de Primeira Ordem 5.2 Circuitos Elétricos de Segunda Ordem

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS

1 TEMA

Investigação de aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) 2 HISTÓRICO

As equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac

Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo e elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII especialmente por Euler.

Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries infinitas.

Leinbniz foi um autodidata em matemática. Ele compreendia o poder de uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. Também descobriu o método de separação das variáveis para as equações dy / dx = P(y) / Q(x). Em 1691, verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem.

Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas de astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o primeiro a palavra “integral” no sentido moderno, estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios da mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos avanços, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes. Muitas equações pareciam amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O maior matemático do século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções, estudou as propriedades e definições. Também foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as equações de coeficientes constantes, tal como

Depois de Euler vieram vários especialistas que refinaram e entenderam muitas das ideias das equações diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando as equações em áreas como física matemática, mecânica, energia, sistemas dinâmicos, astronomia etc. Porém o próximo avanço importante nesse assunto ocorreu no início do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de funções variáveis complexas se desenvolveram. Gauss usou as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas planetárias e da gravitação. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido.

As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Assim, é amplamente aceito que as equações diferenciais são importantes para a matemática pura e aplicada.

3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equações

Diferenciais Ordinárias), quando possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável