ATPS DE CÁLCULO 2
Por: Francisca Evangelista • 3/10/2015 • Trabalho acadêmico • 1.846 Palavras (8 Páginas) • 229 Visualizações
Etapa 1
Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação
Passo 1
Em geral velocidade instatânea nada mais é do que a rapidez com a qual um corpo se move em um determinado instante de tempo ∆t.
A partir da velocidade média, é possivel se obter a velocidade em um dado instante, bastando para isso, reduzir o intervalo de tempo ∆t até torna-lo proximo de zero. Com a diminuição do valor de ∆t, a velocidade média se aproxima cada vez mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea.
[pic 1]
Assim v é a taxa com a qual a posição x varia com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t.
Exemplo:
Um ponto móvel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um ponto O.
[pic 2]
Figura 1
O deslocamento s, de M, em relação ao ponto O, e a distância de O a M.
0=origem;
S=espaço ou deslocamento;
T= tempo;
M=móvel.
O deslocamento do móvel depende do tempo. Sem o tempo não existe um meio de medir a velocidade.
De acordo com a figura 1 no instante t0, o deslocamento de M é S0=S(t0). Já no instante posterior t1, o deslocamento de M é S1= S(t1). Isso acontece sucessivamente até um n qualquer.
M →S0= S(t0), S1= S(t1), S2= S(t2),S3= S(t3), S1= S(t1),...........................Sn= S(tn).
[pic 3]
Figura 2
Poder-se escrever t1= t0 +∆t, ou seja, ∆t=t1-t0.
Outras forma seriam:
[pic 4]
↓
[pic 5]
∆ é usado para expressa variação entre intervalos.
Figura 3
[pic 6]
De um modo geral, definimos a velocidade instantânea V(t0) usado a derivada através do conceito de limite, do ponto M, no instante t0, como sendo o limite da velocidade média no intervalo de t0 a t0 +∆t, quando ( Esta foi uma ideia de Isaac Newton), Escrevemos:[pic 7]
[pic 8]
De acordo com Newton temos um intervalo cada vez menor, mas nunca nulo ou 0.
O conceito de derivada é usado em física com toda certeza, no entanto em física apenas o uso do calculo não é suficiente para alcançar um resultado satisfatório, é preciso também usar a grandezas nas devidas proporções.
tempo | S(segundo) |
velocidade | Km/h, m/s |
Aceleração | m/s2 |
Na física as constantes não são apenas números, por exemplo, se dissermos que o número 7 é uma constante, então será necessário um significado para ter sentido, por exemplo 7 km, 7horas, 7m/s2 .
Para entrar de vez em calculo vamos mostrar o uso da derivação através da função de espaço para chegar à função de velocidade e provar que ambas estão relacionada com o tempo.
Função de velocidade → Derivada da função de espaço:
[pic 9]
Na física consideramos S, V e a como constante e t como variável. Pois minha função v(t) :
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
Reescrevendo a derivada temos:
[pic 13]
Fazendo outros exemplos temos:
[pic 14]
[pic 15]
Reescrevendo:
[pic 16]
[pic 17]
No próximo exemplo será usado como a aceleração, o somatório do último algarismo do RA de cada integrante do grupo.
ALUNO | RA | ULT. ALGARISMO |
MAGNO | 8075862704 | 4 |
DANIEL | 8634246305 | 5 |
ARNALDO J. | 8487206366 | 6 |
ENIS | 8406262003 | 3 |
RAFAEL | 9 | |
JEAN | 8074856780 | 0 |
O somatório é S=4+5+6+3+9+0 que equivale a uma aceleração de 27 m/ s2
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Para exemplificar de modo claro vamos fazer uso de uma situação hipotética na qual o alunos projetam um carro elétrico e para verificar sua eficiência e funcionamento. Serão efetuados testes para saber o deslocamento e através da função de espaço derivar para encontrar velocidade. Tudo isso será demonstrado através de tabela e gráfico.
Dados da FUNÇÃO de espaço:
S=? Espaço final
S0=0m espaço inicial
V0= 0 m/s velocidade inicial
a=27m/s2 aceleração
t=0 a 5 s tempo
[pic 21]
[pic 22]
DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO DE ESPAÇO:
[pic 23]
[pic 24]
TABELA DE ESPAÇO EM FUNÇÃO DE TEMPO | ||
t(s) | S=27.t^2 | S(m) |
0 | S=27.(0)^2 | 0 |
1 | S=27.(1)^2 | 27 |
2 | S=27.(2)^2 | 108 |
3 | S=27.(3)^2 | 243 |
4 | S=27.(4)^2 | 432 |
5 | S=27.(5)^2 | 675 |
TABELA DE VELOCIDADE EM FUNÇÃO DE TEMPOV(t) | ||
t(s) | V=54.t | V(ms) |
0 | V=54.0 | 0 |
1 | V=54.1 | 54 |
2 | V=54.2 | 108 |
3 | V=54.3 | 162 |
4 | V=54.4 | 216 |
5 | V=54.5 | 270 |
[pic 25]
De acordo com gráfico Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima. Usado a equação da área de um triangulo :
...