ATPS: Engenharia Mecânica - Disciplina: Estatística

Curso: Engenharia Mecânica - Disciplina: Estatística - Professora: Cristiane

Assunto: Média

Média aritmética simples: Para uma sequência numérica X: x1, x2, ..., xn, a média aritmética simples x ̅ é definida por:

x ̅= (∑▒xi)/n

Exemplo: se X: 2, 0, 5, 3, então

x ̅= (2+0+5+3)/4=2,5

Média aritmética ponderada: para uma sequência numérica X: x1, x2, ..., xn afetados de pesos p1, p2, ..., pn, respectivamente, a média é definida por:

x ̅= (∑▒xipi)/(∑▒pi)

Exemplo: se X: 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, então:

x ̅= (∑▒xipi)/(∑▒pi)= (2x1+4x3+5x2)/(1+3+2)=4

Média geométrica simples: Para uma sequência numérica X: x1, x2, ..., xn, a média geométrica simples X ̅g é definida por:

x ̅g= √(n&x1.x2…..xn)

Exemplo: se X: 2, 4, 6, 9, então

x ̅g= ∜2.4.6.9=4,559

Média geométrica ponderada: para uma sequência numérica X: x1, x2, ..., xn afetados de pesos p1, p2, ..., pn, respectivamente, a média é definida por:

x ̅g= √(∑▒pi&〖x1〗^p1.〖x2〗^p2…〖xn〗^pn )

Exemplo: se X: 1, 2, 5, com pesos 3, 3, 1 respectivamente, então:

x ̅g= √(7&1^3.2^3.5^1 ) = 1,6938

Média harmônica simples: Para uma sequência numérica de elementos não nulos X: x1, x2, ..., xn, x ̅ h é definida por:

x ̅ h= n/(1/x1+1/x2+⋯+1/xn)

x ̅ h= n/(∑▒1/xi)

Obs: a média Harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos elementos.

Exemplo: Se X: 2, 5, 10, então:

x ̅h=3/(1/2+1/5+1/10)=3,75

Média harmônica ponderada: Para uma sequência numérica de elementos não nulos X: x1, x2, ..., xn, afetados de pesos p1, p2, ..., pn, respectivamente, x ̅ h é definida por:

x ̅ h= (∑▒pi)/(p1/x1+p2/x2+⋯+pn/xn)

x ̅ h= (∑▒pi)/(∑▒pi/xi)

Exemplo: Se X: 2, 4, 12, com pesos 3, 2, 2 respectivamente, então:

x ̅h=7/(3/2+2/4+2/12)=3,23

Cálculo da média aritmética:

Dados brutos ou ROL:

x ̅= (∑▒xi)/n

Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.

x ̅= (∑▒xi)/n= (3+5+8+12+7+12+15+18+20+20)/10=12

Interpretação: os valores desta série concentram-se em torno do valor 12, ou seja, o valor médio é 12.

Variável discreta: utilizaremos média aritmética ponderada:

x ̅= (∑▒xifi)/(∑▒fi)

Exemplo: determinar a média da distribuição:

xi fi

2 1

5 4

6 3

8 2

Incluir a coluna xifi:

Xi fi Xifi

2 1 2

5 4 20

6 3 18

8 2 16

10 56

x ̅= (∑▒xifi)/(∑▒fi)=56/10=5,6

Interpretação: O valor médio da série é 5,6, isto é, o ponto de concentração dos valores da série.

Variável contínua: Utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas classes.

O ponto médio, de cada classe é definido por:

x=(l+L)/2

E a média aritmética por:

x ̅= (∑▒xifi)/(∑▒fi)

Exemplo: Determinar a média da distribuição:

Classe Int. Cl. Fi

1 2 ├ 5 1

2 5 ├ 8 10

3 8 ├ 11 8

4 11 ├ 14 1

∑▒fi=20

Pontos médios: (2+5)/2=3,5;(5+8)/2=6,5;(8+11)/2=9,5;(11+14)/2=12,5

Classe Int. Cl. fi xi Fixi

1 2 ├ 5 1 3,5 3,5

2 5 ├ 8 10 6,5 65

3 8 ├ 11 8 9,5 76

4 11 ├ 14 1 12,5 12,5

Portanto: x ̅=(∑▒xifi)/(∑▒fi)=157/20=7,85

Interpretação: O valor médio desta série é 7,85 é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram.

Exercícios:

1 – Calcule a média aritmética da série:

X: 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30, resp: 12,5

Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20, resp: 9,857

Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15. Resp: 8,145

2 – Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõem determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,0; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto? Resp: sim. 4,25

3 – Calcule a média geométrica para as séries:

X: 1, 2, 4, 7, 16, resp: 3,8946

Y: