ATPS Equações Diferenciais E Séries

Introdução

As equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo e elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceu a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII especialmente por Euler. Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries infinitas.

Leinbniz foi um autodidata em matemática. Ele compreendia o poder de uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. Também descobriu o método de separação das variáveis para as equações dy / dx = P(y) / Q(x). Em 1691, verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem. Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas de astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o primeiro a utilizar palavra “integral” no sentido moderno, estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios da mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos avanços, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes. Muitas equações pareciam amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O maior matemático do século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções, estudou as propriedades e definições. Também foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as equações de coeficientes constantes.

Depois de Euler vieram vários especialistas que refinaram e entenderam muitas das ideias das equações diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando as equações em áreas como física matemática, mecânica, energia, sistemas dinâmicos, astronomia etc. Porém o próximo avanço importante nesse assunto ocorreu no início do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de funções variáveis complexas se desenvolveram. Gauss usou as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas planetárias e da gravitação. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Assim, é amplamente aceito que as equações diferenciais são importantes para a matemática pura e aplicada.

A equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que contêm derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equações Diferenciais Ordinárias), quando possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, e EDP (Equações Diferenciais Parciais), quando envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes. Toda função definida em um intervalo “I” que tem, pelo menos, “n” derivadas contínuas em I, as quais, quando substituídas na equação diferencial de ordem “n”, reduzem a equação diferencial a uma identidade no intervalo. Em outras palavras, a solução de uma equação diferencial de ordem “n” é uma função Φ que tem, pelo menos, “n” derivadas de forma que F(x, Φ(x), Φ'(x),..., Φn(x))=0

Importância das Equações Diferenciais

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto. No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler).

Aplicações das Equações Diferenciais

É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemática foi feita pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idéia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por onde k é uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples, embora não leve em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana tanto em seu crescimento quanto em seu declínio, não obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsão dos Estados Unidos entre os anos de 1790 e 1860.

De acordo com a lei empírica de Newton do resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do