ATPS Equações Diferenciais

ATPS - ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVIOSIONADAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SERIES.

SÃO CAETANO DO SUL

2013

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 4

ETAPA 1-Tipos de equações diferenciais, aplicações e modelagem 5

ETAPA 2 - Equações diferenciais Lineares de ordem superiores................................6

Circuito R-L (Resistor + indutor)...................................................................................7

Circuito R-C (Resistor + Capacitor)............................................................................10

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 11

INTRODUÇÃO

Na matemática,uma equação difencial é uma equação cuja a incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y e eventualmente também derivadas de x1. A teoria das equações diferenciais é objetivo de intensa atividade de pesquisa pois apresenta aspectos puramente matematicos e uma multiplicidade de aplicações, alem de apresentar diversas ramificações. Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes tais como:

solução pode existir ou não.

caso exista, a solução é única ou não.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação. A solução de uma equação diferencial de ordem n, conterá n constantes.

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

Tipos

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável.

Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais.

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton: é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem.

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente.

Equações Diferenciais Primeira Ordem.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Apresenatamos a seguir a forma geral de uma equação diferencial de primeira ordem.

dy/dx = F (x,y)

Se g(x) e uma função continua dada,então a equação é de primeira ordem

dy/dx = g (x)

Pode ser resolvida por integração. A solução é:

y= ∫▒〖g(x)dx+c〗

Equação Separavel

Definição: uma equação diferencial da forma:

dy/dx= □((g(y))/(h(x)))

É chamada de separável ou tem variáveis separáveis.

Uma equação pode ser escrita como:

h(y) dy/dx = g(x)

O calculo diferencial e integral ,também chamado de calculo infinitesimal, ou simplesmente calculo, é um ramo importante da matemática , desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo da taxa de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades ( como a área debaixo de um uma curva ou volume de um solido). Onde há movimento ou crecimento e forças variáveis agem produzindo aceleração, o calculo é a matematica a ser empregada.

O calculo foi criado como ferramenta auxiliar em varias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Issac Newton (1643 – 1723) e Gottfriend Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), em trabalhos independentes. O calculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química,física clássica,física moderna e economia. O estudante de calculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática,como funções,geometria