ATPS Física 2

Objetivo.

O desafio será aplicar os conhecimentos de Física para estudar o movimento de alguns feixes de partículas do acelerador LHC, do laboratório CERN, próximo a Genebra, no qual o sucesso do experimento depende dos cálculos teóricos previamente efetuados.

Introdução.

Quando se fala em dinâmica de corpos, a imagem que vem à cabeça é a clássica e mitológica de Isaac Newton, lendo seu livro sob uma macieira. Repentinamente, uma maçã cai sobre a sua cabeça. Segundo consta, este foi o primeiro passo para o entendimento da gravidade, que atraia a maçã.

Na cinemática, estuda-se o movimento sem compreender sua causa. Na dinâmica, estudamos a relação entre a força e movimento.

Esta atividade aborda alguns temas presentes na dinâmica como, as Leis de Newton, Conservação de energia e trabalho e Centro de massa. E os aplica à um exemplo real, induzindo os alunos a resolverem situações presentes no Grande Colisor de Hádrons (LHC), é o maior acelerador de partículas e o de maior a nossa compreensão, desde o minúsculo mundo existente dentro átomos até a vastidão do Universo.

Desenvolvimento.

Diagrama de forças atuante sobre o próton no interior do anel do LHC.

Anel do LHC

Aceleração que cada próton adquire aplicando uma força elétrica Fe = 1,00 N.

Número de prótons = 1x1015

Massa do próton = 1,67x10-24 g.

Massa do feixe de prótons = 1x1015 * 1,67x10-24

Massa do feixe de prótons = 1,67x10-9 g.

Massa do feixe de prótons = 1.67x10-12 Kg.

F = m*a

ap = F/m

ap = 1/(1.67x10^(-12) )

ap = 5,988023952x1011 m/s2

Força necessária para que núcleos de chumbo adquiram a mesma aceleração dos prótons.

Número de núcleos de chumbo = 1x1015

Massa do próton = 1,67x10-24 g.

Massa do núcleo do chumbo = 1,67x10-24 * 207

Massa do núcleo de chumbo = 3,4569x10-22 g.

Massa do feixe de núcleos de chumbo = 1x1015 * 3,4569x10-22

Massa do feixe de núcleos de chumbo = 3,4569x10-7 g.

Massa do feixe de núcleos de chumbo = 3,4569x10-10 Kg.

F = m*a

Fe = 3,4569x10-10 * 5,988023952x1011

Fe = 207 N

Força Centrípeta.

Quando um corpo efetua um Movimento Circular, este sofre uma aceleração que é responsável pela mudança da direção do movimento, a qual chamamos de aceleração centrípeta. Sabendo que existe uma aceleração e sendo dada a massa do corpo, podemos, pela 2ª Lei de Newton, calcular uma força que assim como a aceleração centrípeta, aponta para o centro da trajetória circular.

A esta força damos o nome de Força Centrípeta. Sem ela, um corpo não poderia executar um movimento circular.

Fcp = m * V^2/r

Velocidade do feixe de prótons em um instante que a força magnética sobre todos os prótons é Fm = 5,00 N.

5 = 1.67x10-12 * ( V^2)/4300

V2 = ( 5)/(1.67x10^(-12) ) * 4300

V = √(〖1.28742515〗^16 )

V= 113.464.758,8 m/s

Força de atrito FA total que o ar que o cientista deixou no tubo aplica sobre os prótons do feixe.

S = S0 + V0 + 〖a(t)〗^2/2

0,01 = 〖a(20x10^(-6))〗^2/2

a = (0,01*2)/〖4x10〗^(-10)

a = 5x107 m/s2

F = m*a

F = 1.67x10-12 * 5x107

Fr = 8,35x10-5 N

Fr = Fe – Fa

Fa = Fe – Fr

Fa = 1 - 8,35x10-5

Fa = 0,9999165N

O cientista liga as bombas para fazer vácuo. Com isso ele consegue garantir que a força de atrito FA seja reduzida para um terço do valor inicial. Nesse caso, qual é a força de atrito? E qual é a leitura de aceleração que o cientista vê em seu equipamento de medição.

0,9999165/3= 0,3333055N

1 – 0,3333055 = 1.67x10-12 * a

a = 3,992182635x1011 m/s2

Para compensar seu erro, o cientista aumenta o valor da força elétrica Fe aplicada sobre os prótons, garantindo que eles tenham um valor de aceleração igual ao caso sem atrito. Sabendo que ele ainda está na condição em que a força de atrito FA vale um terço do atrito inicial, determinar qual é a força elétrica Fe que o cientista precisou aplicar aos prótons do feixe.

Fe – 0,3333055 = 1.67x10-12 * 5,988023952x1011

Fe = 1 + 0,3333055

Fe = 1,3333055N

Adotando o valor encontrado no passo três, determinar qual é a razão entre a força Fe imposta pelo cientista aos prótons do feixe e a força gravitacional Fg, imposta pelo campo gravitacional.

Fg = m * g

Fg = 1.67x10-12 * 9,8

Fg = 1,6366x10-11N

Razão = Fe/Fg Razão = 1,3333055/( 〖1,6366x10〗^(-11) )

Razão = 8,1469711193x1010 N

A razão entre Fe e Fg é extremamente grande, provando que a força elétrica aplicada no sistema é muito baixa, isso porque a massa dos prótons é pequena, portanto conclui – se que para manter os prótons flutuando dentro do acelerador de partículas é necessária mais força magnética, que se anula com a força gravitacional, do que força elétrica, que é responsável por movimentar os prótons.

Energia Mecânica.

Energia Cinética.

A energia cinética é a energia que está relacionada com o estado de movimento de um corpo. Este tipo de energia é uma grandeza escalar que depende da massa e do módulo da velocidade do corpo em questão. Quanto maior o módulo da velocidade do corpo, maior é a energia cinética. Quando o corpo está em repouso, ou seja, o módulo da velocidade é nulo, a energia cinética é nula.

Ec = (m*v^2)/2 = (J)

Valores de energia cinética Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam às velocidades: v1 = 6,00x107 m/s (20% da velocidade da luz), v2 = 1,50x108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3 = 2,97108 m/s (99% da velocidade da luz).

1º Cálculo de Energia Cinética para o feixe de prótons.

Ec = (〖1,67x10〗^(-12) *(〖〖6,00x10〗^7)〗^2)/2

Ec = 6.012/2

Ec = 3.006 J

1º Cálculo de Energia Cinética para um próton.

Ec = 3.006/〖1x10〗^15

Ec = 3,006x10-12 J

2º Cálculo de Energia Cinética para o feixe de prótons.

Ec = (〖1,67x10〗^(-12) *(〖〖1,50x10〗^8)〗^2)/2

Ec = 37.575/2

Ec = 18.787,5 J

2º Cálculo de Energia Cinética para um próton.

Ec = 18.787,5/〖1x10〗^15

Ec = 1,87875x10-11 J

3º Cálculo de Energia Cinética para o feixe de prótons.

Ec = (〖1,67x10〗^(-12) *(〖〖2,97x10〗^8)〗^2)/2

Ec = 147.309,03/2

Ec = 73.654,515 J

3º Cálculo de Energia Cinética para um próton.

Ec = (73.654,515 )/〖1x10〗^15

Ec = 7.3654515-11 J

Sabendo que para os valores de velocidade do Passo um, o cálculo relativístico da energia cinética nos dá: Ec1 = 3,10 x 10-12 J, Ec2 = 2,32 x 10-11 J e Ec3 = 9,14 x 10-10 J, respectivamente; determinar qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em cada um dos três casos.

Calcular o erro relativo percentual permite que você compare uma estimativa com um valor exato. Ele lhe dá a diferença entre os valores aproximado e exato como uma porcentagem do valor exato, ajudando a descobrir o quão perto sua estimativa estava do valor real.

Erro (%) = (〖|E〗_C^Clássica- E_C^Relativística |)/(E_C^Relativística ) X 100

Os valores usados serão os resultados dos cálculos de Energia Cinética para apenas um próton de cada uma das três situações propostas acima.

1º Cálculo de Erro Percentual.

Erro (%) = (〖|3,006x10〗^(-12)-〖3,10x10〗^(-12) |)/〖3,10x10〗^(-12) X 100

Erro (%) = 〖9.4x10〗^(-14)/〖3,10x10〗^(-12) X 100

Erro (%) = 3,03 %

2º Calculo de Erro Percentual.

Erro (%) = (〖|1,87875x10〗^(-11)-〖2,32x10〗^(-11) |)/〖2,32x10〗^(-11) X 100

Erro (%) = 〖4,4125x10〗^(-12)/〖2,32x10〗^(-11) X 100

Erro (%) = 19,01 %

3º Cálculo de Erro Percentual.

Erro (%) = (〖|7,3654515x10〗^(-11)-〖9,14x10〗^(-10) |)/〖9,14x10〗^(-10) X 100

Erro (%) = 〖8,40345485x10〗^(-10)/〖9,14x10〗^(-10) X 100

Erro (%) = 91,94 %

O que se pode concluir?

Conclui – se que, a porcentagem de erro entre a etapa calculacional e a etapa experimental do fenômeno pode variar muito de acordo com os fatores levados em consideração, como: atrito, resistência do ar, temperatura, etc.

Trabalho.

Para se colocar algum objeto em movimento, é necessária a aplicação de uma força e, simultaneamente, uma transformação de energia. Quando há a aplicação de uma força e um deslocamento do ponto de aplicação dessa força, pode-se dizer que houve uma realização de trabalho.

Para realizar-se um trabalho, existe a necessidade de um deslocamento. Caso algum objeto esteja sob a ação de uma força, mas em repouso, não haverá a realização de trabalho. As forças que atuam sobre uma pessoa parada segurando uma mala não realizam trabalho, pois não há deslocamento do ponto de aplicação dessas forças.

Onde:

τ = F * d = (J)

Ou na forma genérica

τ = F * d * cos θ = (J)

Considerando uma força elétrica Fe = 1,00 N (sobre os 1 x 1015 prótons do feixe), determinar qual é o trabalho realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

Cálculo de Trabalho para o feixe de prótons.

τ = 1 * 27.000 = 27.000 J

Cálculo de Trabalho para um próton.

τ = 1/〖1x10〗^15 * 27.000 = 2,7x10-11 J

Determinar qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no Passo um. Determinar também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre todos os prótons), se o sistema de geração leva 5 μs para acelerar o feixe de prótons de 20% a 50% da velocidade da luz.

Cálculo de Trabalho para o feixe de prótons.

τ = F * d = (J)

F * d = Ecf – Eci = (m*v_f^2)/2 - (m*v_f^2)/2 portanto,

τ = Ecf – Eci

τ = 18.787,5 - 3.006

τ = 15.781,5 J

Cálculo de Trabalho para um próton.

τ = F * d = (J)

F * d = Ecf – Eci = (m*v_f^2)/2 - (m*v_f^2)/2 portanto,

τ = Ecf – Eci

τ = 1,87875x10-11 - 3,006x10-12

τ = 1,57815x10-11 J

Centro de Massa.

Na mecânica clássica, centro de massa de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não precisa coincidir com o centro geométrico (centróide). O centro de massa nem ao menos precisa estar dentro do corpo.

No sistema de partículas o centro de massa é dado por:

Xcm = 1/m * ∑_(i=1)^n▒〖mi*xi〗

Ycm = 1/m * ∑_(i=1)^n▒〖mi*yi〗

Zcm = 1/m * ∑_(i=1)^n▒〖mi*zi〗

Determinar a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de prótons (P) que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada no detector, com uma separação de 46 m entre eles. O feixe de prótons possui 1 J 1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3 x1013 núcleos. Lembrar-se de que a massa de cada núcleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um próton.

Massa do próton = 1,67x10-24 g.

Massa do próton = 1,67x10-27 Kg.

Massa do feixe de prótons = 1x1015 * 1,67x10-27

Massa do feixe de prótons = 1.67x10-12 Kg.

Massa do núcleo do chumbo = 1,67x10-27 * 207

Massa do núcleo de chumbo = 3,4569x10-25 Kg.

Massa do feixe de núcleos de chumbo = 3x1013 * 3,4569x10-25

Massa do feixe de núcleos de chumbo = 3,4569x10-11 Kg.

X próton = -23 m

X Chumbo (Pb ) = 23 m

Xcm = (〖(1,67x10〗^(-12)*(-23)+ 〖1,03707x10〗^(-11)*(23)))/(〖1,67x10〗^(-12 )+ 〖1,03707x10〗^(-11) )

Xcm = 〖2,00116x10〗^(-10)/〖1,20407x10〗^(-11 )

Xcm = 16,62 m

Representação do Centro de Massa