ATPS: definição de um derivado

ETAPA 1

Passo 1

Quando estamos no limite em que o intervalo é zero, temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu carro passa pelo radar.

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante.

A velocidade instantânea é igual ao valor limite de velocidades médias (em intervalos de tempo cada vez menores) e a unidade da velocidade instantânea será a mesma da velocidade média: uma unidade de comprimento dividida por uma unidade de tempo. Assim, a velocidade instantânea também pode ser dada em metros por segundo, por exemplo, como a velocidade média.

Exemplo.

Dada a função abaixo:

S = 5.t2 + 2.t + 7

A derivada da função acima gera uma função de velocidade:

V = 10.t + 2

Exemplo:

Para aceleração = 20 m/s2: (R.A. dos membros do grupo).

S = 10.t2 + 2.t + 7

Derivando:

V = 20.t + 2

Derivando:

a = 20 m/s2

Passo 2

S = 5.t2 + 2.t + 7

V = 10.t + 2

Passo 3

A derivada em relação ao tempo de s = m.tn é v = n.m.tn-1, isto é, a partir de s = m.tn obtemos diretamente v por meio da seguinte regra: multiplica-se o expoente n pelo coeficiente m de tn e subtrai-se uma unidade do expoente n.

A derivada de s = constante é v = 0. Portanto, a derivada de uma constante é nula.

Por exemplo, considere a função horária dos espaços de um móvel:

s = 4 + 5.t + 3. t2 (SI)

Vamos derivar e obter a função horária da velocidade escalar:

v = 0 + 1.5.t1-1 + 2.3.t2-1

v = 5 + 6t (SI)

A aceleração escalar α num certo instante é a derivada da velocidade escalar:

α = dv/dt

No exemplo anterior, temos v = 5 + 6t (SI). Portanto, por derivada obtemos:

α = o + 1.6.t1-1

α = 6 m/s2

Com isso, concluímos que a aceleração instantânea e a derivada segunda de uma determinada função espaço.

Exemplo:

Para aceleração = 20 m/s2: (R.A. dos membros do grupo).

S = 3,33.t3 + 2.t + 7

Derivando:

V = 10.t2 + 2

Derivando:

a = 20.t m/s2

Passo 4

Função Linear:

a = 20.t m/s2

ETAPA 2

Passo 1

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de

Valor aproximado

As 100 primeiras decimais dessa constante são

γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767 2348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

História

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).

Convergência

Como podemos escrever:

Como

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

Essa última expressão