ATPs Cálculo

ETAPA 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação de derivada inserida em conceitos básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis.

Para realizá-la, execute os passos a seguir:

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com Δt → 0. Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito de derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

R: A velocidade média é definida a partir do conceito de distância percorrida, pois ele considera a trajetória do corpo, para medir a média da distância pelo intervalo de tempo, por isso a velocidade média é relacionada a distância percorrida.(Vm=∆s/∆t ).

A velocidade média não marca a velocidade no determinado instante, ela apenas faz uma ponderação média da distancia total pelo intervalo total. Já a velocidade instantânea definida a partir do conceito de deslocamento, pois o espaço usado para a medir a velocidade é pequeno e pode ser considerado em linha reta, o que determina como velocidade instantanea é o tempo que é pequeno e por isso é considerado um instante. A fórmula para determinar a velocidade instantânea deriva a partir de que o intervalo de tempo é considerado instante, ou seja, é dito que tende a zero sendo assim possui um limite, assim como na fórmula a seguir:

(t)=lim┬(∆t→0)⁡〖((x(t+∆t)- x(t))/∆t〗)

Como em física a fórmula para velocidade é V=ΔS/ΔT, em calculo a fórmula fica: Vt= lim┬(∆t→0)⁡〖∆s/∆t〗

Física

V=ΔS/ΔT

V=s-so/t-to

V= V_0+ a.t

S=S_0+ V_0.a.t

Passo 2 (Aluno)

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Para a aceleração usaremos a soma dos ultimos algarismos do R.A. dos integrantes da nossa equipe, que são: 8; 8; 7; 3; 5; 2 e 7. A = 40 m⁄s^2 . Para melocidade inicial vamos definir como sendo 10 m⁄s

V= V_0+ a.t

Velocidade inicial Aceleração Tempo a.t Velocidade Final

m/s m⁄s^2 s m/s

10 40 0 0 10

10 40 1 40 50

10 40 2 80 90

10 40 3 120 130

10 40 4 160 170

10 40 5 200 210

A área formada pelo gráfico é dado pela área de um triangulo que se obtem atravéz da fórmula: A = (b.h)/2

Então temos:

A = (5 . 210)/2

A = 1050/2

A = 525

S=S_0+ V_0.a.t

Posição Inicial So Velocidade Inicial Aceleração Tempo Vo.a.t Posição Final

m m/s m⁄s^2 s m

5 10 40 0 0 5

5 10 40 1 400 405

5 10 40 2 800 805

5 10 40 3 1200 1205

5 10 40 4 1600 1605

5 10 40 5 2000 2005

A área formada pelo gráfico também é dado pela área de um triangulo: A = (b.h)/2

Então temos:

A = (5 . 2010)/2

A = 10050/2

A = 5025

Passo 3 (Equipe)

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

R:

Quando uma partícula tem movimento retilíneo com velocidade constante, a aceleração é nula (zero). A aceleração é, portanto, uma medida da variação da velocidade por intervalo de tempo. Para encontrarmos a aceleração utilizamos a fórmula am =∆V/∆t, ou seja: am = (V_final-V_0)/(t_final- t_0 ).

Para acharmos a aceleração instantanea, precizamos conhecer a velocidade no momento a ser medido e a posição. Para exemplificarmos usaremos a ultima tabela apresentada.

Aceleração em 5s

V_final = 210 m⁄s

V_0 = 10 m⁄s

t_final = 5 s

t_0 = 0 s

am = (210-10)/(5- 0).

am = 40 m⁄s^2

Aceleração em 4s

V_final = 170 m⁄s

V_0