Aplicação Da lógica Proposicional Em Circuitos lógicos

I. INTRODUÇÃO

No intuito de capacitar os alunos de Engenharia de Computação no âmbito de circuitos lógicos, a disciplina de Introdução a Sistemas Digitais propõe solucionar problemas do ramo utilizando o estudo de lógica proposicional aplicada.

A lógica proposicional, também conhecida como expressão booleana, é constituída por um sistema formal no qual há dois conjuntos - um de expressões sintáticas e um de regras formais - que definem uma relação binária específica, entre essas expressões, na qual se pretende interpretar com a noção de equivalência lógica, no espaço de circuitos elétricos.

Por álgebra boolena compreendemos um conjunto A, para cujos elementos valem duas operações binárias, soma e multiplicação, e uma singular, negação, com dois elementos binários (0 e 1).

O processo de resolução de problemas na lógica proposicional consiste em:

• um conjunto de símbolos primitivos, dados, neste trabalho e na área de sistemas digitais, por 0 (representando falso) e 1 (representando verdadeiro), como referência a base binária. Tais símbolos são utilizados em tabelas verdade, que representam todos os possíveis valores lógicos de acordo com os valores das proposições e os operadores lógicos a elas aplicados;

• um conjunto de operadores interpretados como operadores lógicos ou conectivos lógicos. Sendo esses: AND (análogo à multiplicação matemática, onde todas as proposições são verdadeiras), OR (análogo à adição matemática, onde ao menos uma proposição deve ser verdadeira), NOT (análogo ao elemento oposto na álgebra, onde é a negação da própria proposição), XOR (semelhante ao OR, porém apenas uma proposição deve ser verdadeira), NOR (aplicação do NOT ao OR), NAND (aplicação do NOT ao AND), XNOR (aplicação do NOT ao XOR).

Nesse trabalho, abordaremos a relação mantida entre circuitos elétricos e a lógica proposicional. Além de tratar sobre como o processo de circuitos reage de acordo com essas expressões lógicas, conceituando, assim, portas lógicas e seus procedimentos.

II. PORTAS LÓGICAS

A ideia principal concentrada em portas lógicas é a permissão da entrada de energia nos circuitos elétricos utilizando os operadores lógicos.

As portas lógicas são compostas de duas ou mais entradas, que podem receber ou não correntes elétricas, e uma saída, cujo resultado depende da operação realizada no interior de sua respectiva porta. Na Figura 1, estão representados os três operadores com os quais se podem construir e manipular qualquer circuito elétrico.

A primeira porta lógica apresentada na Figura 1, com o operador AND, permite a passagem de corrente elétrica apenas quando as duas entradas apresentam valor 1, ou seja, as duas entradas recebem corrente. A segunda porta, diferente da anterior, é constituída pelo operador OR, onde a passagem de corrente é interrompida apenas quando ambas as entradas assumem o valor 0. O terceiro mecanismo lógico, denominado NOT, é o único com apenas uma entrada, com a capacidade de invertê-la, ou seja, transformar o 1 em 0 e vice-versa.

Na Figura 2, é possível observar a representação de maneira lógica das portas mostradas na Figura 1, com a tabela verdade de cada uma e sua respectiva função Booleana.

Com o intuito de simplificar o circuito e deixá-lo de maneira interpretativa, houve a criação da porta lógica XOR, também denominado “ou exclusivo”. Esse operador pode ser facilmente deduzido a partir dos outros três fundamentais como visto na Figura 3, e também na Equação 1.

(1)

Essa porta transmite corrente elétrica apenas quando os valores das entradas são contrários, ou seja, uma entrada deve ter valor 1 e a outra, 0; tornando-o um circuito negador de bits, ao transformar bits semelhantes em falso e bits diferentes em verdadeiro.

O NOT pode ser utilizado para inverter o valor lógico da saída gerada pelas outras portas. Quando acoplado ao AND, é criado o NAND, onde a passagem não é permitida apenas quando ambas as entradas possuem valor 1. Quando aplicada à porta OR, é gerada a NOR, que tem a saída concedida apenas quando as duas entradas são falsas, ou seja, o valor é 0. Também pode ser atribuído ao XOR, sendo chamado, assim, de XNOR, que assume valor contrário ao ou exclusivo, ou seja, as entradas devem ter valores iguais. De maneira simbólica, coloca-se uma circunferência na saída da porta, para indicar a inversão dos valores.

É possível obter o circuito referente a uma específica expressão booleana apenas com sua função, e a recíproca é verdadeira, como observado na relação entre a Figura 6 e a Equação 2. A tabela verdade representa o comportamento correspondente a ambas com 2n, sendo n o número de entradas (proposições).

(2)

Na figura 7, temos a aplicação das portas lógicas por meio de um circuito simples, o Circuito 1, que consiste na entrada de três correntes (A, B e C), e um total de cinco portas lógicas (dois AND (3, 4), um OR (5), um XOR (2) e um NOR(1)) e uma saída.

A porta NOR (1), recebe duas entradas, A e B, e retorna o valor inverso da adição. A primeira porta AND (3) recebe a saída da porta NOR e a entrada C e efetua a multiplicação. A segunda porta, XOR (2), recebe os valores de A e C e o resultado da sua operação é uma entrada da segunda porta AND (4), que efetua a multiplicação com a entrada C. A saída das duas portas AND enviam seu valor à porta OR (5), onde efetuará a adição que determinará o resultado final do circuito.

O Circuito 2 da Figura 8 é constituído por três entradas, seis correntes intermediárias, uma saída e oito portas lógicas, sendo elas três portas NOT, quatro portas AND e uma porta OR.

As seis correntes intermediárias são dividas em dois grupos de três, o grupo da direita recebe os valores puros das entradas A, B e C, e o grupo da esquerda recebe os valores negados pelas três portas NOT (1,2,3), A’, B’ e C’. A primeira porta AND (4) recebe três entradas, A’, B e C, e efetua a multiplicação delas. A segunda porta AND (5) adquire os valores lógicos reais de A e C e o valor negado de B, B’, e executa a multiplicação entre eles. A terceira porta AND (6) considera a multiplicação dos valores lógicos autênticos de A e B e o valor lógico inverso de C, C’. Para a quarta porta AND (7) são enviados os valores lógicos, sem efeito do NOT, de A, B e C. Os resultados dos processos realizados nas portas AND são emitidos para a porta OR (8), onde é executada a adição que resulta em passagem ou bloqueio de energia.

III. RESULTADO DA SIMULAÇÃO

A Figura 9I apresenta a tabela verdade do Circuito 1, que ilustra os possíveis resultados de saída. Quando as três saídas (A, B e C) possuem o mesmo valor lógico, a energia é bloqueada na saída. Quando o valor de B é verdadeiro e A e C são falsos, a corrente também é impedida; o mesmo ocorre quando A é verdadeiro e B e C falsos ou B é falso e A e C verdadeiros. Neste circuito, é permitida a passagem de energia apenas quando o C é verdadeiro e A e B falsos, ou C é falso e A e B verdadeiros ou A falso e B e C verdadeiros.

Na Figura 9II são abstraídas as diferentes saídas do Circuito 2. A passagem de energia é permitida quando todas as entradas tem valor verdadeiro. Quando A é falso e B e C verdadeiros, ou A e C são verdadeiros e B é falso, A e B verdadeiros e C falso as saídas serão sempre verdadeiras, ou seja, também haverá passagem de energia. O circuito terá a corrente bloqueada quando todas as entradas apresentarem valores lógicos falsos, ou nos casos com A e B falsos e C verdadeiro, A e C falsos e B verdadeiro ou apenas quando o A é verdadeiro.

IV. DISCUSSÃO DO RESULTADO

Na figura 7 temos uma porta XOR utilizando os valores das entradas A e C. É possível perceber que sem a utilização da mesma, as operações se tornariam complexas. A figura 3 demonstra a versão simplificada dessa porta lógica, utilizando os três principais operadores. O circuito é composto de duas portas NOT, duas portas AND e uma porta OR, causando um atraso que pode ser evitado facilmente adicionando a porta XNOR, que tem como objetivo otimizar a velocidade dos cálculos. A mesma situação pode ser observada com a porta NOR - simplificação das portas OR e NOT -, que impede um cálculo desnecessário, e novamente contribuindo para um circuito com execução rápida.

A figura 8 mostra uma representação mais consistente e complexa de um circuito lógico. As correntes são representadas verticalmente e são contínuas, as portas lógicas se conectam a estas correntes e recebem o seu valor, e a representação não é alterada em módulo ou significado lógico, e sim utilizada com o objetivo de melhorar a interpretação do circuito como um todo. Observando o circuito, a negação das correntes está presente em todo o percurso mesmo não sendo utilizada em todos os casos, processo importante que não tinha sido utilizado no Circuito 1.

V. CONCLUSÃO

As portas lógicas são componentes-chave na construção de um circuito lógico. Por meio da análise realizada, entendemos que estas portas tem como base primitiva o uso de lógica proposicional. Vimos que, desde os circuitos mais simples (Circuito 1) até mais complexos (Circuito 2), há o uso das portas lógicas primitivas. As portas foram construídas usando um número finito de operações lógicas, posicionadas de modo a atender as necessidades do circuito. As portas básicas (AND, OR e NOT) são as necessárias para a construção de um circuito, porém, com o objetivo de aperfeiçoar um projeto, são usadas outras portas derivadas dessas básicas.

REFERÊNCIAS

[1] Judith L. Gersting, “Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação”, Editora Filiada, 1993.

[2] José Augusto Baranauskas, “Funções Lógicas e Portas Lógicas”, Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP.

[3] E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill, 1977.

[4] Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, 1987.