Aplicações e Modelagem

Aplicações e Modelagem

Passo 1

Neste trabalho encontraremosinformações importantes para compreender a caracterização de uma equação diferencial e a sua aplicação em problemas de engenharia.

Assim como descrições detalhadas dos conceitos separadamente.

Pesquisare estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagemmatemáticaéaárea do conhecimento que estuda a simulaçãode sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia.

Modelagemmatemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

De acordo com Rangel (2013) "Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje em dia, ser tratados através de métodos computacionais. Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais".

Passo 2

Revisar os conteúdos sobrediferencialde uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar comobibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

A integração éumprocessoque demanda certa habilidade e técnica,ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência.

Oproblemada integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Método de conjecturar e verificar

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são úteis na inversão da regra da cadeia.

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira Dw=w(x)dx= (dw/dx)dx

No método de substituiçãoparece que tratamos dwe dxcomo entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.

Método Por partes

A técnica de integração porpartesconsiste da utilizaçãodo conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

Umaequação diferencial é uma equação com uma série de funções derivadas de uma mesma função começando pela a de maior ordem. No caso de uma Equação Diferencial Ordinária, a solução da equação é a sua função original não derivada.

Integral: A integral foi criada para calcular áreas curvas, geralmente de um plano cartesiano, porém com o tempo foi-se descobrindo novas formas de seu uso tornando cada vez mais complexa e importante para a ciência em si. Basicamente uma integral segue o caminho inverso da derivada.

Existem várias maneiras de calcular uma integral, como a integral definida que se tem os valores máximos e mínimos definidos da variável. Há também a indefinida, que em seu cálculo chega à outra equação aplicável, mantendo ainda a variável da função.

Passo 3

Estudaro método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizarcomo bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Resoluçãode equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem

Com dados às informações de Ufersa (7), temos:

Resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x, y). dx + N(x, y). Dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constante.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y) dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Paraa particularização das constantes, com vista à obtenção dumasolução ou integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a um mesmo valor da variávelindependente, condições iniciais. Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular que as satisfazem.

Umaequação diferencial de variável separada é uma equação do tipo: g(y) dy = f(x)dx

A solução geral daequação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja, ∫g(y) dy = ∫f(x)dx+c.

Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y) dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependente só de x ou só de y.

Dividindo