Atps

Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)

Objetivos: Alertar o aluno sobre as dificuldades numéricas que podem ocorrer ao se trabalhar com um

computador (ou qualquer outra maquina digital); Erros inerentes ao processo de tradução de números

decimais para números binários.

1 – O processo de modelagem de um fenômeno da natureza.

Modelagem – Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do

problema que se quer estudar.

Resolução – Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de

métodos numéricos.

Obs: Ambas as fases acima estao passíveis de erros.

De forma mais detalhada temos:

Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda

que todas as fases de resolução tenham sido realizadas corretamente. Os resultados obtidos dependem

também:

a) da precisão dos dados de entrada

b) da forma como esses dados são representados no computador

c) das operações numéricas efetuadas

I – Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em

máquinas digitais.

Problema

ou

fenômeno

Modelo

matemático Solução Modelagem Resolução

Levantamento de

dados real

Problema

real

Construção do modelo

matemático

Escolha do método

numérico adequado

Implementação

computacional deste

Análise dos

resultados

Se necessário: reformular o modelo matemático

e/ou escolher novo método numérico

I – Erros e Precisões em Máquinas Digitais – Cálculo Numérico – Prof. Dr. Sergio Pilling 2

2 – Representação dos números.

Os números empregados no calculo computacional podem ser de dois tipos: números inteiros e

números em “ponto flutuante” (números reais da matemática, por exemplo 3.56 → 0.356 x 10-1). Os

computadores atuais representam os números internamente no formato binário, como uma seqüência

de 0s e 1s. Apesar dessa representação ser conveniente para as maquinas é antinatural para os seres

humanos, cujo sistema de numeração é o decimal.

Obs. No passado o nosso sistema de numeração já foi também na base 12 (ex. contar nas

falanges dos dedos) na base 60 (ex. sistema horário).

2.1 – Decomposição de um número num sistema de bases.

Em geral qualquer numero pode ser decomposto numa soma dos dígitos que o constitui (d)

vezes potências da sua base (β) conforme indicado abaixo:

(N)B = (dndn-1dn-2 ....d0,d-1d-2 .... d-m)β

= dnβn

+ dn-1βn-1 + dn-2βn-2 + ....+ d0β0

+ d-1β-1 + d-2β-2 + d-mβ-m

Onde os dígitos dj pertencem aos números naturais e satisfazem a condição: 0 ≤ dj ≤ (β-1)

2.2 – Sistema de numeração decimal ou base 10.

Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com potencias de 10.

Ex1. 1537 = (1537)10 = 1 x 103

+ 5 x 102

+ 3 x 101

+ 7 x 100

36,189 = (36,189)10 = 3 x 101

+ 6 x 100

+ 1 x 10-1 + 8 x 10-2 + 9 x 10-3

6,032x1023 = (6,032x1023)10 = 6 x 1023 + 0 x 1022 + 3 x 1021 + 2 x 1020

2.3 – Sistema de numeração binário ou base 2.

Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos com potencias de 2.

Ex2. (10111)2 = 1 x 24

+ 0 x 23

+ 1 x 22

+ 1 x 21

+ 1 x 20

(10,1)2 = 1 x 21

+ 0 x 20

+ 1 x 2-1

Obs. Os computadores digitais operam basicamente com dois tipos de sinais de tensão: Alto e

baixo. Matematicamente, pode-se expressar esses valores por 0 (baixo) e 1 (alto).

3 – Conversão de números

3.1 – Conversão de números decimal → binário.

Para convertermos um numero decimal para um numero binário devemos aplicar um método

para a parte inteira (divisões sucessivas) e um método para a parte fracionaria, se houver

(multiplicações sucessivas).

Ex3. (23)10 → (x)2 Usando o método das divisões sucessivas.

23 2

1 11 2 Resposta: (x)2 = (10111)2