Atps Equações

ETAPA 3

Circuitos Elétricos

Equações diferenciais lineares de variáveisseparáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

E o integral geral dessa equação tem a forma

ʃ = ʃ +C

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:

Chama-se equação diferencial linear de 1ª ordem a uma equação da forma

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR.

É usual designar por equação completa aquela em queQ(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função só de x, I(x, y)= e ∫P(x) dx

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx

Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é

e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x)

Note que o primeiro membro da equação acima é igual a

(ye∫P(x)dx)

Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja,

ye∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dx

ETAPA 4

Circuitos elétricos por meio de equações diferenciais

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t)

Para modelar um sistema elétrico precisaram conhecer os seus componentes elétricos passivos.

Relação elementar de voltagem:

Resistor (Lei de Ohm)

eA – eB = R iR

Indutor

eA – eB = L

Capacitor eA – eB =

L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei dos Nós e/ou a Lei das Malhas

Modelagem Matemática pelo Método dos Nós.

Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:

A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó.

Modelagem Matemática pelo Método das Malhas.

Aplica-se a Lei das Malhas a cada malha do circuito elétrico:

A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual à soma das voltagens que são introduzidas na mesma malha.

Aplicações das Equações Diferenciais

É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Umadas primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemática foi