Cálculo Envolvendo Números Complexos

Demonstração de cálculo envolvendo números complexos.

        No exemplo 5.1 do capítulo 5 do livro “Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley”, do autor Stephen D. Umans, publicado pela McGrawHill Education e utilizado na última aula (06/10/18) da RDR “Conversão Eletromecânica de Energia, há uma passagem no cálculo da tensão gerada na armadura que envolve números complexos e não foi bem estruturada no livro, o que farei agora:

Cálculo da tensão gerada na armadura, página 272, livro “Máquinas Elétricas de Fitsgerald e Kingsley”:

 , esta equação teve como resultado apresentado no livro .[pic 1][pic 2]

Passo a passo a resolução fica assim;

[pic 3]

Realizando a distributiva entre j1,68 e o conteúdo dos parênteses fica:

[pic 4]

Lembrando que o número complexo é um vetor representado por uma parte real e uma parte imaginária e que a exponencial complexa, segundo o teorema de Euler pode ser representada como:

, onde r é o módulo do vetor e  é o ângulo entre o vetor e a referência, neste caso:[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Fazendo a distributiva entre o operador complexo j e o conteúdo dos parênteses, fica:

[pic 8]

ou[pic 9][pic 10]

Lembrando, da teoria de números complexos, o operador j é definido da seguinte forma:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

E ainda, cos -18,2° é numericamente igual ao cos +18,2°e – sen -18,2° é numericamente igual ao sen +18,2°, pois a função seno é uma função impar!

Continuando efetuando a distributiva entre 201,6 e o conteúdo dos parênteses, fica:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Esta é a tensão gerada na armadura na forma retangular, precisamos agora transformar para a forma polar e expressar o resultado usando exponencial complexa, para tanto precisamos determinar o ângulo .[pic 18]

Lembre-se, da teoria de números complexos (teorema de EULER):

[pic 19]

202,634 = [pic 20]

191,514 = [pic 21]

Para encontrar o ângulo  a partir dos cos e sen do ângulo usamos a tangente:[pic 22]

[pic 23]

O ângulo é encontrado fazendo o arctg 0,9451 (inverso da tangente): arctg 0,9451 = 43,483° = . O módulo do vetor, chamado r é calculado aplicando a seguinte fórmula:[pic 24]

[pic 25]

Portanto o resultado na forma polar, usando exponencial complexa, da tensão gerada na armadura é:

  e confere com o resultado apresentado pelo livro [pic 26][pic 27]

        Espero que tenha sido esclarecedor!

Bons estudos,

Prof. Hélcio Sarabando