CONCEITOS E FUNDAMENTOS DA PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

FACULDADE DE MACAPÁ[pic 1]

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CONCEITOS E FUNDAMENTOS DA PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

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FACULDADE DE MACAPÁ[pic 4]

Érica Gonçalves Ferreira

José Roberto Brandão da Silva

Josilene Almeida Brabo

Taynara Tavares Sousa

CONCEITOS E FUNDAMENTOS DA PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

O trabalho apresentado como requisito de avaliação do Curso de Engenharia de Produção da Faculdade de Macapa - FAMA para a disciplina de Pesquisa Operacional - Simulação em obtenção da avaliação parcial B1 sob orientaçao do Professor Angelo.

MACAPÁ

2019

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO        3

2 PROGRAMÃO NÃO LINEAR        4

2.1 CONCEITOS E FUNDAMENTOS DA PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR .............4

2.2 TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR ..........................6

2.3 PROGRAMÃO QUADRÁTICA ...........................................................................15

2.4 PROGRAMAÇÃO CONVEXA ............................................................................16

2.5 PROGRAMAÇÃO SEPARÁVEL ........................................................................16

2.6 PROGRAMAÇÃO NÃO-CONVEXA ...................................................................16

3 OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES E FUNÇÃO-OBJETIVO NÃO-LINEAR ........16

3.1 FUNÇÃO LAGRANGIAN ....................................................................................17

3.2 FUNÇÕES CONVEXAS E CÔNCOVAS UNIDIMENSIONAIS ...........................19

3.3 CONDIÇÕES PARA OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES DE KARUSH-KUHN-TUCKER (KKT) .........................................................................................................21

4 CONCLUSÃO ........................................................................................................24

REFERÊNCIAS ........................................................................................................25

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1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho será abordado o conceito e fundamentos da Programação não-linear, que são utilizados para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetivo com restrições lineares.

A Programação Não-Linear é o processo de resolução de um problema de otimização, pois é definido por um sistema de igualdades e desigualdades, gerando um sistema de equações coletivo.

Pois são denominados de Restrições sobre um conjunto de variáveis reais, cujos valores são desconhecidos, juntamente com uma função objetivo a ser maximizada ou minimizada, onde algumas das restrições ou a função objetivo é não-linear.

Para que uma solução seja considerada ótima para um problema de programação não-linear, ela deverá satisfazer um conjunto de condições atribuídas a Karush, Kuhn e Tucker. Tais condições são conhecidas como condições de KKT.

Além disso, será tratado o modo de escolher uma direção 𝑑 ∈ R 𝑛 que diminua o valor de 𝑓 partindo de 𝑥0 ∈ R 𝑛 , um ponto inicial arbitrário. Este tipo de direção será fundamental para os métodos numéricos que serão explorados no trabalho.

2 PROGRAMÃO NÃO LINEAR

2.1 CONCEITOS E FUNDAMENTOS DA PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

A Programação não linear é o processo de resolução de um problema de otimização definido por um sistema de equações e desigualdades, coletivamente denominadas restrições, através de um conjunto de desconhecido variáveis reais, juntamente com uma função objetivo a ser maximizada ou minimizada, onde algumas das restrições ou a função objetivo são não lineares.

O mundo em geral possui problemas não lineares, que significa que o modelo real violará uma ou todas as propriedades citadas. Contudo, muitas aplicações de PL têm sido bem sucedidas, mesmo sendo aproximações da realidade. Se o modelo contiver sérias violações suficientes para invalidar o modelo linear, então se torna necessário utilizar um modelo não linear.

Existem várias possibilidades da natureza do conjunto de restrições. Um problema inviável é aquele para qual nenhum conjunto de valores para a escolha das variáveis satisfaz todas as restrições. Isto é, as restrições são mutuamente contraditórias, e não existe uma solução; o conjunto viável é o conjunto vazio.

Os modelos de Programação Linear são utilizados para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetivo linear bem como restrições lineares. Porém, a necessidade de linearidade é a maior das restrições impostas sobre um modelo de Programação.

De fato, muitos economistas descobriram que algum grau de não-linearidade é a regra e não a exceção em problemas de planejamento econômico. Portanto, muitas vezes é necessário lidar diretamente com problemas de programação não-linear.

Os problemas de programação não-linear têm à finalidade resolver problemas que envolvem funções constituídas de variáveis que compartilham relações desproporcionais entre si (não-linearidade). Assim, utilizam-se os mesmos conceitos (otimização, função-objetivo, variáveis de decisão e restrições), embora os procedimentos matemáticos empregados na solução dos problemas de natureza não linear sejam diferentes.