Camila S. Bertazzi e Emerson C. Voltarelli

Capítulo 6 – Camila S. Bertazzi e Emerson C. Voltarelli

Capacitância

        A capacitância mede a capacidade de armazenamento de energia em equipamentos e dispositivos elétricos. Ela pode ser projetada para um propósito específico ou pode existir como um subproduto inevitável da estrutura do equipamento que deve operar com esta capacidade de armazenar energia.

        Um capacitor é um dispositivo que armazena energia, e a energia assim armazenada pode ser associada a uma carga acumulada ou relacionada ao campo elétrico. Pode-se imaginar um capacitor como um dispositivo que armazena fluxo elétrico.

Definição de capacitância

        Considere dois condutores imersos em um dielétrico homogêneo. O condutor M2 está carregado com uma carga positiva total Q e M1 está carregado com uma carga igual negativa.

        Agora sabemos que a carga se posiciona na superfície como uma densidade superficial de carga e, também que o campo elétrico é normal a superfície do condutor. Além disso, cada condutor é uma superfície equipotencial.

Vamos designar a diferença de potêncial entre M2 e M1 por Vo. Podemos agora, definir a capacitância desse sistema de dois condutores como a razão entre o valor absoluto da carga total em um dos condutores e o valor absoluto da diferença de potêncial entre os condutores.

[pic 1]

Em termos gerais, determinamos Q por uma integral de superfícies sobre condutores positivos.

[pic 2]

        A capacitância é independente do potencial e da carga total, pois a razão entre eles é constante. A capacitância é medida em farads (F), e um farad é definido como um coulomb por volt.

Capacitor de placas paralelas

        Podemos aplicar a definição de capacitância a um sistema simples de dois condutores idênticos cujos planos são paralelos e infinito, com separação d. Escolhemos o plano condutor inferior em z = 0 e o superior em z = d, uma lâmina uniforme de carga superficial em cada condutor leva ao campo uniforme.

[pic 3]

        Onde a permissibilidade do dielétrico homogêneo é Є, e

[pic 4]

        Note que esse resultado poderia ter sido obtido pela aplicação da condição de fronteira em uma superfície condutora em uma das superfícies das placas. Onde ninferior  =   e nsuperior = .[pic 5][pic 6]

        Essa é uma das principais vantagens da condição de fronteira em condutor, uma vez que necessitamos aplicá-la somente a uma única fronteira para obter o campo total na mesma.

        A diferença de potêncial entre os planos inferior e superior é:

[pic 7]

        Uma vez que a carga total em cada plano é infinita, a capacitância será também infinita. Assim podemos afirmar que o campo elétrico e a distribuição das cargas são quase uniformes em todos os pontos não adjacentes às bordas, acrescentando que essa última região contribui apenas com uma pequena porcentagem para a capacitância total, permitindo-nos escrever um resultado familiar

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Diversos exemplos de capacitância

        Escolhemos um cabo coaxial ou um capacitor coaxialde raio interno a, raio externo b e comprimento L. Temos a capacitância por:

[pic 11]

        A seguir consideramos um capacitor de esférico formado por duas cascas condutoras esféricas concêntricas de raios a e b, b > a. Temos o campo elétrico por:

[pic 12]

Onde a região entre as esferas é um dielétrico com permissvilidade Є. A diferença de potencial é dada por:

[pic 13]

        Na equação anterior, Q representa a carga total na esfera interna, e a capacitância é dada por:

[pic 14]

        Se permitirmos que a esfera externa seja infinitamente grande, obtemosa capacitância de um capacitor esférico isolado.

[pic 15]

        Para um diâmetro de 1cm, ou a esfera do tamanho de uma bolinha de gude,

[pic 16]

No espaço livre.

        Revestindo essa esfera com uma camada de dielétrico diferente, para qual Є = Є1, estendendo-se de r = a até r = r1.

[pic 17]

                                                        (a < r < r1)[pic 18]

                                                                      (r1< r)[pic 19]

E a diferença de potencial é

[pic 20]

Então,

[pic 21]

Uma vez que nossa definição de capacitância, , envolve uma carga e uma tensão, devemos considerar uma carga e em função dela, encontrar a tensão. Suponha que estamos considerando uma diferença de potencial Vo entre as placas. As intensidades de campo elétrico nas duas regiões E2 e E1 são ambas uniformes, então:[pic 22]

[pic 23]

Portanto, a densidade superficial de carga na placa inferior terá a magnitude

[pic 24]

Dessa forma a capacitância será:

[pic 25]

[pic 26]

        Se a fronteira entre os dois dielétricos fosse posicionada na direção normal às duas placas condutoras e os dielétricos ocupassem àreas S1 e S2, então uma diferença de potencial Vo produziria intensidades de campo E1 = E2 =Vo/d. Esses são campostangenciais na interface, e devem ser iguais. Portanto, podemos determinar, sucessivamente D1, D2, ρs1, ρs2 e Q, obtendo a capacitância

[pic 27]

        Neste momento podemos fazer muito pouco com um capacitor no qual os dois dielétricos são de tal forma utilizados que fazem que a interface não seja, em todos os pontos, normal ou paralela aos campos. Certamente, conhecemos as condições de fronteiraem cada condutor. Contudo não conhecemos os campos quais aplicar as condições de fronteira. Tal problema deve ser colocado de lado até que nosso conhecimentode teoria de campo tenha crescido e estejamos dispostos e capazes de utilizar técnicas matemáticas mais avançadas.