Coeficiente De Variação

Coeficiente de variação

Em Estatística, o coeficiente de variação é uma medida de dispersão que se presta para a comparação de distribuições diferentes. O desvio-padrão, uma medida de dispersão, é relativo à média e como duas distribuições podem ter médias/valores médios diferentes, o desvio dessas duas distribuições não é comparável. A solução é usar o coeficiente de variação, que é igual ao desvio-padrão dividido pela média:

Algumas vezes, o coeficiente de variação é ainda multiplicado por 100, passando a ser expresso como percentagem. O coefincente de variação em uma carteira de ativos serve como medida de risco para cada unidade de ativo.

Exemplo de uma aplicação do coeficiente de variação:

Considere uma distribuição com média/valor médio igual a 40 e um desvio padrão igual a 4. Considere agora uma outra distribuição com média/valor médio igual a 5 e um desvio padrão igual a 4.

Repare-se que o desvio padrão na segunda distribuição tem um peso muito mais significativo do que na primeira e, no entanto, este é igual em ambas. Ao se determinar o coeficiente de variação é possível saber de que forma o desvio padrão está para a/o média/valor médio.

Nos exemplos dados, o coeficiente de variação é respectivamente = 0,1 e = 0,8 . Ao se interpretar estes valores pode-se afirmar que, na primeira distribuição, em média, os desvios relativamente à média atingem 10% do valor desta. Na segunda distribuição, porém, os desvios relativamente à média atingem, em média, 80% do valor desta. As percentagens mostram o peso do desvio padrão sobre a distribuição.

Desvio padrão

Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:

1. seja um número não negativo;

2. use as mesmas unidades de medida que os nossos dados.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão s de um subconjunto em amostra.

O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Desvio padrão de uma variável aleatória

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

onde é o valor esperado de X.

Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.

Desvio padrão amostral

Se uma variável aleatória toma os valores , então o desvio padrão para esta amostra de n números (ou desvio padrão amostral) pode ser computado como segue. Primeiro, a média de , , é definida como:

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

A divisão por n − 1 aparece quando exigimos que a variância amostral seja um estimador não tendencioso da variância populacional .

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

onde k é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:

1. Para cada valor xi calcula-se a diferença entre xi e o valor médio .

2. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.

3. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.

4. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, (n − 1).Esta quantidade é a variância s2.

5. Tome a raiz quadrática deste resultado.

Variância

Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.

A variância de uma variável aleatória real é o seu segundo momento central e também o seu segundo cumulante (os cumulantes só diferem dos momentos centrais a partir do 4º grau, inclusive).

Se μ = E(X) é o valor esperado (média) da variável aleatória X, então a variância é

Isto é, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média. Em linguagem comum isto pode ser expresso como "A média do quadrado da distância de cada ponto até a média". É assim a "média do quadrado dos desvios". A variância da variável aleatória "X" é geralmente designada por , , ou simplesmente σ2. Notar que a definição acima pode ser usada quer para variáveis aleatórias discretas, quer para contínuas.

Muitas distribuições, tais como a distribuição Cauchy, não têm variância porque o integral relevante diverge. Em particular, se uma distribuição não tem valores esperados, ela também não tem variância.

O contrário não é verdadeiro: há distribuições para as quais existe valor esperado mas não existe variância, como, por exemplo, a distribuição t de Student com 2 graus de liberdade. Um contra-exemplo mais simples é uma distribuição discreta sobre em que a probabilidade de cada ponto n é proporcional a . O valor esperado será calculado através de uma série convergente , e a variância através de uma série divergente .

Se a variância pode ser calculada (ou seja, a integral ou o somatório convergem), podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos.

A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de