Reta Tangente; Reta Normal E Coeficiente Angular Da Reta Tangente

Reta Tangente

Reta Normal

Coeficiente Angular da Reta Tangente

Reta Tangente

É a reta que toca uma curva ou superfície sem cortá-la, compartilhando um único ponto. Próximo ao ponto de tangência, a curva é aproximadamente a reta tangente.

Para encontrar a reta tangente a uma curva que passa no ponto (x0, y0) é necessário saber qual o coeficiente angular a da reta. A equação da reta é dada por y - y0 = a (x - x0). Sabemos que a é a tangente do ângulo de inclinação da reta tangente e é dado pela taxa de variação instantânea da função da curva no ponto em que a reta a tangencia. O ângulo ά é a declividade dessa reta; já o numero representado por a é a tangente do ângulo que a reta tangente forma como o eixo Ox.

Reta tangente

a = tg(ά)

y0

y – y0 = a (x – x0)

y – y0 = f’(x0) (x – x0)

ά x0

É necessario encontrar a derivada da função da curva tangenciada e subistituir os valores de x0 e y0 (ponto de tangência) na fórmula para acha o coeficiente angular da reta, e deste modo acharmos a função que define a reta tangente.

Obs: A reta tangente é definida pelo valor de a, que não é o ângulo.

Exemplo Prático.

{█(f(x)=x^2+1@x_0=2 )┤

1º- Passo é encontra o valor de y0.

f(x)=x^2+1 Substituir o valor de x0 para encontrar.

f(2)=2^2+1

f(2)=5 Logo o valor de y0 é = 5.

2º- Passo montar a equação da reta tangente.

y – y0 = a (x – x0)

y – y0 = f’(x0) (x – x0)

Agora é substituir os valores

y – 5 = f’(x0) (x – 2)

Está faltando o coeficiente angular da reta tangente para encontrar a equação da mesma. Para isso e necessário a de taxa de variação que é dada.

〖lim〗_(x→2)⁡〖((x²+1-5)/(x-2))^ 〗

〖lim〗_(x→2)⁡〖((x^2-4)/(x-2))^ 〗

〖lim〗_(x→2)⁡〖〖((2²-4)/(2-2))=〗^ 0/0〗 isso é uma indeterminação.

Então tem que simplificar a equação e continuar calculando o limite

〖lim〗_(x→2)⁡〖((x^ -2)(x+2)/(x-2))^ 〗

〖lim〗_(x→2) (x+2)⁡

〖lim〗_(x→2)(2+2)⁡=4 Logo o coeficiente angular é igual a 4.

Voltamos a equação da reta tangente.

y – 5 = f’(x0) (x – 2)

y – 5 = 4 (x – 2)

y – 5 = 4x – 8

y = 4x-3 Pronto. Essa é a equação da reta tangente quando a função da curva a qual ela tangencia no ponto (2,5) é f(x)=x^2+1.

Função do 2º grau que define o gráfico abaixo: f(x)=x^2+1

Equação da reta tangente: y=4x-3

y0 = 5

x0 = 2

Reta Normal

Reta Normal é a reta que forma um ângulo reto (90°) com outra reta ou um plano qualquer.

A reta normal a curva y = f(x), no ponto P0 dessa curva, é a reta que passa por

P0 perpendicularmente à curva. Isto é, r é normal à curva y = f(x), no ponto P0,

quando r é perpendicular a reta tangente à curva nesse ponto.

Lembre-se que se duas retas são perpendiculares, tendo coeficientes angulares m

e m’ , então m’= -1/m.

Exemplo Prático.

Qual é a equação da reta t, que tangencia a parábola y = x², no ponto P = (-1, 1)? Qual é a equação da reta r, normal a parábola nesse ponto?

Solução.

Sendo y = x², temos dy/dx = 2x. Em P, temos x0 = -1. O coeficiente angular da reta é dado por ├ ( dy)/dx┤| x = -1 = 2∙(-1)= -2

Assim, a reta t, tangente à curva y = x² no ponto P, tem equação

y-1=(-2)(x-(-1)) , ou seja,

y=-2x-1

Para escrever a equação da reta r, normal à curva do ponto P, fazemos uso do fato de que a declividade da reta r é m_(r