Comprimento e Área da Circunferência

Comprimento e Área da Circunferência

Comprimento

Conside uma circunferência de centro O e raio R, como na figura:

Essa circunferência possui um comprimento. Para determiná-lo basta medir o contorno da região circular com um barbante.

Feita a medida, relaciona-se o comprimento da circunferência (medida do barbante) com o seu diâmetro (2*R), dessa forma, nota-se que o comprimento possui um valor pouco superior ao diâmetro. Realizando esses cálculos em qualquer região circular, o resultado dessa relação é proporcionalmente o mesmo. Isso ocorre porque quando se divide o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro, encontra-se um valor fixo, um número irracional denominado pi (representado pela letra grega π), que possui valor aproximado de 3,141592... . Com base no valor constante de π, para encontrar o comprimento de uma circunferência basta aplicar a seguinte definição:

É possível optar por duas expressões matemáticas no cálculo do comprimento da circunferência:

Com base no diâmetro: C = d * π

Com base no raio: C = 2 * r * π

Área

Para determinar a área de uma circunferência, parte-se da definição de circunferências concêntricas, que são regiões circulares que possuem o mesmo centro, observe a ilustração:

Vamos supor que as circunferências concêntricas sejam fios (barbantes). Traçando um corte do centro até a extremidade do maior círculo, tem-se a figura a seguir:

Esticando os fios, a figura formada lembra um triângulo. Se calcularmos sua área, determinaremos a área da circunferência, mas vale ressaltar que a altura desse triângulo corresponde ao raio da maior circunferência; e a base do triângulo, ao comprimento da circunferência.

Lembrando que a área do triângulo é calculada de acordo com a seguinte expressão: .

Assim, a área da circunferência será:

Cálculo da Área do Círculo com Integral

A equação do círculo , de centro na origem e raio , gera duas funções cujas representações no plano cartesiano são as seguintes: para a função temos o semicírculo mostrado no diagrama na parte superior do eixo . Já para a função temos o semicírculo na parte inferior do mesmo eixo.

Com a intenção de utilizar o Cálculo Integral para calcular a área do círculo, vamos utilizar a primeira função no intervalo . É suficiente, pois