Conceito de derivadas e suas aplicações

Aula-tema: O conceito de derivada.

Passo 1:

Pesquisar em livros e sites confiáveis da internet o conceito de Derivadas e suas aplicações. A pesquisa na internet obrigatoriamente precisa acompanhar a ideia central apresentada na bibliografia complementar para que seja avaliada como fonte confiável da informação

CONCEITO DE DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES

Para entendermos o conceito de Derivadas, temos que entender também o conceito de Taxa de Variação Média.

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

TVM = , → = 2 m/s,

FUNÇÃO DESLOCAMENTO – O gráfico acima representa à posição de uma partícula em metros e do tempo em segundos, num instante 2 segundos a partícula está em 3 metros, em 3 segundos chegou a 5 metros.

Se quisermos calcular a velocidade dessa partícula no intervalo entre 2 e 3 segundos usaremos o conceito de Taxa de Variação Média, dividimos a variação de deslocamento pela variação do tempo. A variação de deslocamento é basicamente a seguinte pergunta – Quanto que ela se deslocou quando saiu do ponto 3 e foi até o ponto 5. Esse cálculo é simples, basta fazer 5 menos 3, a variação do tempo é a mesma pergunta, quanto tempo foi o deslocamento dela, do 2 até o 3 segundos, esse cálculo também é o mesmo princípio, vamos pegar o tempo de chegada menos o tempo de partida 3 menos 2, efetuando os cálculos temos 5 – 3 = 2 e 3 – 2 = 1 que é igual a 2 m/s. É assim que calcula a Taxa de Variação Média ou a velocidade da partícula. Nesse intervalo de tempo a partícula se deslocou numa velocidade média de 2 metros por segundo.

A Taxa de Variação Média é o quociente da variação de y e a variação de x, esse conceito podemos expandir e aplicar em qualquer função.

Taxa de Variação Média = , →

TVM = , →

Imaginemos uma situação parecida com a anterior, onde queremos calcular a velocidade dessa partícula, mas não num intervalo de tempo, e sim calcular a velocidade dessa partícula num instante, num ponto, qual era essa velocidade dessa partícula exatamente em 2 segundos. Para isso temos o conceito de Taxa de Variação Instantânea ou Derivada.

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA OU DERIVADA

TVM = , → = 2 m/s,

Então queremos saber qual a Taxa de Variação Instantânea num determinado ponto da função, o conceito é basicamente é uma Derivação da Taxa de Variação Média, no seguinte sentido, vamos imaginar que queremos calcular a Taxa de Variação num intervalo fictício feito de até então vamos calcular a função , então vamos calcular Taxa de Variação nesse intervalo, primeiro temos que saber como é feita a Taxa de Variação Média, fazemos a diferença em y que seria a função abaixo:

, → Simplificando, podemos escrever ,

Agora vamos imaginar que queremos calcular a Taxa de Variação Média, só que diminuindo o intervalo que reduz a zero, a taxa de variação em consideremos que o h é zero aplicaremos nessa situação Limite com h tendendo a zero da função , quando aplicamos limite nessa situação passamos a ter a Taxa de Variação Instantânea, que chamamos de Derivada, e chamamos isso também eventualmente de (f linha) .

, = .

Agora vamos empregar o conceito de Taxa de Variação Média e o conceito de Derivada em duas situações, vamos calcular a taxa de variação média entre 3 e 5. O cálculo da Taxa de Variação Média entre 3 e 5 é basicamente o seguinte.

a) TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA ENTRE 3 E 5

b) TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA (DERIVADA) EM 3.

Então precisamos calcular...

TVM = → → = 8

CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

, =

, → = Desenvolvendo a sentença,

→ → Simplificando temos: →

→ 6 + h = 6

RODRIGO LEVI, Professor Universitário, vídeo Youtube.

Passo 2:

Encontrar através da aplicação da regra geral de derivação, a derivada da função f(x) = 7x, apresentando todo o seu desenvolvimento.

F (x) = 7x

F (x + h) = 7 (x + h)

F (x + h) = 7x + 7h

F (x) = lim 7 (x + h) – 7 (x)

h 0 h

F’ (x) = lim (7x + 7h) – (7x)

h 0 h

F’ (x) = lim 7x + 7h – 7x

h 0 h

F’ (x) = lim 7h

h 0 h

F’ (x) = 7

Passo 3:

Mostrar através de dois exemplos a aplicação da taxa de variação.

Exemplo 1