Curvas Cônicas - Geometria Analític

Elipse

As elipses são denominadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

[pic 1][pic 2]

Definição: Consideremos num plano α dois pontos F1 e F2, distantes 2c>0 entre si. Seja a>c. Ao conjunto dos pontos P∈ α tais que:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

Dá-se o nome de elipse.

[pic 3]

Elementos da elipse

Focos: São os pontos F1 e F2.

Distancia focal: é a distancia 2c entre os focos.

Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2.

Eixo maior: é o segmento A1 A2 de compimento 2ª (o segmento A1 A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse)

Eixo menor: é o segmento B1 B2 de comprimento 2b.

Vértices são os pontos A1,A2,B1 e B2

[pic 4]

Excentricidade: é o numero e dado por e= [pic 5]

Tendo em vista que c

Equação reduzida

Elipse com focos contidos no eixo x e centro na origem:

[pic 6]

A equação reduzida dessa elipse é:

[pic 7]

Elipse com focos contidos no eixo y e centro na origem:

Elipse com focos contidos no eixo y e centro na origem:

[pic 8]

A equação reduzida da elipse, neste caso, é:

[pic 9]

Elipse com focos paralelos ao eixo x e centro fora da origem:

[pic 10]

Equação reduzida dessa elipse:

[pic 11]

Elipse com focos paralelos ao eixo y e centro fora da origem:

[pic 12]

A equação reduzida neste caso é:

[pic 13]

Hipérbole

A hiperbole é formada pela interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.

[pic 14][pic 15]

Definição: Consideremos num plano π dois pontos F1 e F2  ,distantes 2c > 0 entre si. Seja 0

Ao conjunto dos pontos P ∈ π tais que:

 

|d(P,F1) – d(P,F2)| = 2a

Se dá o nome de hipérbole.

[pic 16]

Elementos da Hipérbole:

Centro é o ponto C;

Distância focal = F1F2= 2 . f;

Eixo transverso = A1A2 = 2 . a;

Eixo conjugado = B1B2 = 2 . b;

Vértices são os pontos A1 e A2;

Pólos são os pontos B1 e B2;

Focos são os pontos F1 e F2;

Assíntotas são as retas d1 e d2.

Excentricidade: [pic 17]  , como f > a, então e > 1.

Equação reduzida

Seja a hipérbole com eixo transverso (e focos) contido no eixo dos “x" e centro na origem.

[pic 18]

a equação reduzida da hipérbole resulta:

[pic 19]

Seja a hipérbole com eixo transverso (e focos) contido no eixo “y" e centro na origem

[pic 20]

a equação reduzida da hipérbole resulta:

[pic 21]

Se a  hipérbole tiver centro no ponto C(g; h) e a reta F2F1 for paralela o eixo x:

[pic 22]

[pic 23]

Se a  hipérbole tiver centro no ponto C(g; h) e a reta F1F2 for paralela o eixo y:

[pic 24]

[pic 25]

Parábola

Parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone

[pic 26][pic 27]