Cálculo Envolvendo Números Complexos
Por: HelcioSarabando • 27/2/2019 • Trabalho acadêmico • 350 Palavras (2 Páginas) • 180 Visualizações
Demonstração de cálculo envolvendo números complexos.
No exemplo 5.1 do capítulo 5 do livro “Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley”, do autor Stephen D. Umans, publicado pela McGrawHill Education e utilizado na última aula (06/10/18) da RDR “Conversão Eletromecânica de Energia, há uma passagem no cálculo da tensão gerada na armadura que envolve números complexos e não foi bem estruturada no livro, o que farei agora:
Cálculo da tensão gerada na armadura, página 272, livro “Máquinas Elétricas de Fitsgerald e Kingsley”:
, esta equação teve como resultado apresentado no livro .[pic 1][pic 2]
Passo a passo a resolução fica assim;
[pic 3]
Realizando a distributiva entre j1,68 e o conteúdo dos parênteses fica:
[pic 4]
Lembrando que o número complexo é um vetor representado por uma parte real e uma parte imaginária e que a exponencial complexa, segundo o teorema de Euler pode ser representada como:
, onde r é o módulo do vetor e é o ângulo entre o vetor e a referência, neste caso:[pic 5][pic 6]
[pic 7]
Fazendo a distributiva entre o operador complexo j e o conteúdo dos parênteses, fica:
[pic 8]
ou[pic 9][pic 10]
Lembrando, da teoria de números complexos, o operador j é definido da seguinte forma:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
E ainda, cos -18,2° é numericamente igual ao cos +18,2°e – sen -18,2° é numericamente igual ao sen +18,2°, pois a função seno é uma função impar!
Continuando efetuando a distributiva entre 201,6 e o conteúdo dos parênteses, fica:
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Esta é a tensão gerada na armadura na forma retangular, precisamos agora transformar para a forma polar e expressar o resultado usando exponencial complexa, para tanto precisamos determinar o ângulo .[pic 18]
Lembre-se, da teoria de números complexos (teorema de EULER):
[pic 19]
202,634 = [pic 20]
191,514 = [pic 21]
Para encontrar o ângulo a partir dos cos e sen do ângulo usamos a tangente:[pic 22]
[pic 23]
O ângulo é encontrado fazendo o arctg 0,9451 (inverso da tangente): arctg 0,9451 = 43,483° = . O módulo do vetor, chamado r é calculado aplicando a seguinte fórmula:[pic 24]
[pic 25]
Portanto o resultado na forma polar, usando exponencial complexa, da tensão gerada na armadura é:
e confere com o resultado apresentado pelo livro [pic 26][pic 27]
Espero que tenha sido esclarecedor!
Bons estudos,
Prof. Hélcio Sarabando
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